7.3.1 正弦函数的性质与图像
学 习 目 标 1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点．(重点) 2.能正确使用“ 五点法” 作出正弦函数的图像．(难点) 核 心 素 养 1.借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养． 2.通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养.
1.正弦函数的性质 (1)函数的周期性
①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．
②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，
1
那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．
(2)正弦函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 周期性 y＝sin x R [－1,1] 奇函数 最小正周期：2π ππ??在?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)上递增； 22??π3??在?2kπ＋，2kπ＋π?(k∈Z)上递减 22??单调性 x＝2kπ＋ ，(k∈Z)时，y最大值＝1； 最值 π2x＝2kπ－(k∈Z)时，y最小值＝－1 2.正弦函数的图像 (1)利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，要想得到y＝sin x(x∈R)的图像，只需将y＝sin x，x∈[0,2π]的图像沿x轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图像叫做正弦曲线．
π2?π，1?，
(2)“ 五点法” 作y＝sin x，x∈[0,2π]的图像时，所取的五点分别是(0,0)，?2?
???3?(π，0)，和?π，－1?和(2π，0)．
?2?
思考：观察正弦函数的图像是否具有对称性，它的对称性是怎样的？
[提示] 由图(图略)可以看出，正弦函数的图像关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图像，点(π，0)，点(2π，0)… ，点(kπ，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图像有无数个对称中心，且为(kπ，0)(k∈Z)，即图像与x轴的交点，正弦函π
数的图像还具有轴对称性，对称轴是x＝kπ＋ ，(k∈Z)，是过图像的最高或最低点，且
2与x轴垂直的直线．
2
1.函数y＝xsin x是( ) A．奇函数，不是偶函数 C．奇函数，也是偶函数
B．偶函数，不是奇函数 D．非奇非偶函数
B [f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sin x)＝xsin x＝f(x)，∴y＝xsin x为偶函数，不是奇函数．]
2.下列图像中，符合y＝－sin x在[0,2π]上的图像的是( )
3
D [把y＝sin x，x∈[0,2π]上的图像关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0,2π]上的图像，故选D．]
3.点M?
?π，－m?在函数y＝sin x的图像上，则m等于( )
?
?2?
B．1 D．2
A．0 C．－1
π
C [由题意－m＝sin ，∴－m＝1，
2∴m＝－1.]
4
三角函数奇偶性的判定 【例1】 判断下列函数的奇偶性： ?1π?(1)f(x)＝sin?－x＋?；
2??2
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)． 1
[解](1)显然x∈R，f(x)＝cos x，
21?1?∵f(－x)＝cos?－x?＝cos x＝f(x)， 2?2?∴f(x)是偶函数．
?1－sin x>0，?
(2)由?
??1＋sin x>0，
得－1 ??π 解得定义域为?x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z?. 2?? ∴f(x)的定义域关于原点对称． 又∵ f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)， ∴ f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数． 5
2020学年新教材高中数学 第7章 三角函数 7.3 三角函数的性质与图像 7.3.1 正弦函数的性
