v1.0 可编辑可修改 2024年高考数学30道压轴题训练(教师版)
1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F(c,0)（c?0）的准线l与x
轴相交于点A，OF?2FA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若OP?OQ?0，求直线PQ的方程；
x2y21．（1）解：由题意，可设椭圆的方程为2??1(a?2)。
a2?a2?c2?2,? 由已知得?解得a?6,c?2 a2?c?2(?c).c?x2y26所以椭圆的方程为?。 ?1，离心率e?362（2）解：由（1）可得A（3，0）。
?x2y2?1,??设直线PQ的方程为y?k(x?3)。由方程组?6 2?y?k(x?3)?66。 ?k?3318k227k2?6设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2?2， ① x1x2?。 ② 23k?13k?1得(3k2?1)x2?18k2x?27k2?6?0，依题意??12(2?3k2)?0，得?由直线PQ的方程得y1?k(x1?3),y2?k(x2?3)。于是
y1y2?k2(x1?3)(x2?3)?k2[x1x2?3(x1?x2)?9]。 ③
∵OP?OQ?0，∴x1x2?y1y2?0。 ④ 由①②③④得5k2?1，从而k??566?(?,)。 533所以直线PQ的方程为x?5y?3?0或x?5y?3?0
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v1.0 可编辑可修改 2．已知函数f(x)对任意实数x都有f(x?1)?f(x)?1，且当x?[0,2]时，
f(x)?|x?1|。
（1） x?[2k,2k?2](k?Z)时，求f(x)的表达式。 （2） 证明f(x)是偶函数。 （3） 试问方程f(x)?log41?0是否有实数根若有实数根，指出实数根的个数；若没x有实数根，请说明理由。
2．①f(x)=x?2k?1 (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根
3．如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x?(y?3)?1。
（1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程； （2） 过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值； （3） 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。
81022y64C2Fx-15-10-5O-25X10-42
3．①x=4y ②x1x2=-4 ⑶P(±2,1) SMIN=7 -6-84．以椭圆
x2?y＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形， -102a2试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.
22
v1.0 可编辑可修改 4．解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1）
设BC∶y＝kx＋1（k＞0） 则AB∶y＝－
1x＋1 k把BC方程代入椭圆， 是（1＋ak）x＋2akx＝0
222
2
2
2a2k2a22∴|BC|＝1?k，同理|AB|＝1?k
1?a2k2k2?a2由|AB|＝|BC|，得
2
k3－a2k2＋ka2－1＝0
2
（k－1）［k＋（1－a）k＋1］＝0 ∴k＝1或k＋（1－a）k＋1＝0
2
22
2
2
2
当k＋（1－a）k＋1＝0时，Δ＝（a－1）－4由Δ＜0，得1＜a＜3
由Δ＝0，得a＝3，此时，k＝1 故，由Δ≤0，即1＜a≤3时有一解 由Δ＞0即a＞3时有三解
5．已知，二次函数f（x）＝ax＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.
（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；
（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围. 5． 解：依题意，知a、b≠0
∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0
2
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v1.0 可编辑可修改 ∴a＞0且c＜0
（Ⅰ）令f（x）＝g（x）， 得ax＋2bx＋c＝0.（*）
2
Δ＝4（b2－ac）
∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴Δ＞0
∴f（x）、g（x）相交于相异两点 （Ⅱ）设x1、x2为交点A、B之横坐标 则|A1B1|＝|x1－x2|，由方程（*），知
2
2
4b2?4ac4(a?c)2?4ac?|A1B1|＝ 22aa2
?422(a?c?ac) 2ac??c?4?()2??1?(**)
a??a∵??a?b?c?0?a?b?2a?c?0，而a＞0，∴
c1?? a2c??2 a∵??a?b?c?0?c?b?a?2c?0，∴
c1?? a2c2c∴4［（）＋＋1］∈（3，12）
aa∴?2?∴|A1B1|∈（3，23）
6． 已知过函数f（x）=x?ax?1的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。 （1） 求a、b的值；
（2） 求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；
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v1.0 可编辑可修改 （3） 令g?x???f?x??3x?tx?1。是否存在一个实数t，使得当x?(0,1]时，g（x）
2有最大值1
6、解：（1）f''?x?=3x2?2ax
依题意得k=f?1?=3+2a=－3， ∴a=－3
?f?x??x3?3x2?1，把B（1，b）代入得b=f?1???1
∴a=－3，b=－1 （2）令f'?x?=3x－6x=0得x=0或x=2
2
3
2
∵f（0）=1，f（2）=2－3×2＋1=－3 f（－1）=－3，f（4）=17 ∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17
要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987 ∴A≥2004。
（1） 已知g（x）=－x?3x?1?3x?tx?1??x?tx ∴g?x???3x?t
'2?32?23∵0＜x≤1，∴－3≤－3x＜0，
① 当t＞3时，t－3x＞0，即g?x??0
2
2
'∴g（x）在(0.1]上为增函数，
g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去） ② 当0≤t≤3时, g?x???3x?t
'2令g?x?=0,得x=
't 3列表如下:
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2024年高考数学压轴题
