计数原理
知识讲解
一、基本计数原理
1.加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N?m1?m2??mn种不同的方法．又称加法原理．
2.乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N?m1?m2??mn种不同的方法．又称乘法原理．
3.加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
注：分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、
组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．
典型例题
一．选择题（共8小题）
1．（2018?南开区一模）如图所示的几何体是由一个三棱锥P﹣ABC与三棱柱ABC﹣A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面A1B1C1不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）
A．6种 B．9种 C．12种 D．36种
【解答】解：先涂三棱锥P﹣ABC的三个侧面，有C13×C12种情况； 然后涂三棱柱的三个侧面，有C11×C12种情况；
共有C13×C12×C11×C12=3×2×1×2=12种不同的涂法． 故选：C．
2．（2018?汉中二模）《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是（ ） A．216 B．420 C．720 D．1080
【解答】解：将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，有
=45种方法，
种，
再分配到4个村庄体验农村生活，共有∴不同的分配方案种数为45×24=1080种． 故选：D．
3．（2017秋?凉州区校级期末）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数． A．6
B．9
C．10 D．8
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有A33=6个， 前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列．共有A22=2种结果，
前三位是123．第四位是0，最后一位是4，只有1种结果， ∴数字12340前面有6+2+1=9个数字， 数字本身就是第十个数字， 故选：C．
4．（2018春?琼海校级期末）现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词（如图）涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为（ ）
A．27 B．54 C．108 D．144
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题， 首先给最左边一块涂色，有4种结果， 再给左边第二块涂色有3种结果，
以此类推第三块有3种结果，第四块有3种结果， ∴根据分步计数原理知共有4×3×3×3=108． 故选：C．
5．（2017?清新区校级一模）某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（ ） A．1080
B．480 C．1560
D．300
【解答】解：先把6名技术人员分成4组，每组至少一人．
若4个组的人数按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有若4个组的人数为2、2、1、1，则不同的分配方案有故所有的分组方法共有20+45=65种．
再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65故选：C．
?
=20种不同的方法． =45种不同的方法．
=1560种，
6．（2017春?浉河区校级期末）从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（ ） A．60种
B．48种
C．30种
D．10种
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①、从5名志愿者中选派4人参加活动，有C54=5种选法， ②、将4人分为2组，有C42C22=3种分法，
③、将2组进行全排列，对应星期六和星期天，有A22=2种情况， 则共有5×3×2=30种方法； 故选：C．
7．（2017春?鸡泽县校级期中）将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色的方法数为（ ）
A．24 B．60 C．48 D．72 【解答】解：设四棱锥为P﹣ABCD．
下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，
（1）P的着色方法种数为C41，A的着色方法种数为C31，B的着色方法种数为C21， C与B同色时C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为C21．
（2）P的着色方法种数为C41，A的着色方法种数为C31，B的着色方法种数为C21， C与B不同色时C的着色方法种数为C11，D的着色方法种数为C11． 综上两类共有C41?C31．2?C21+C41?C31?2=48+24=72种结果．
故选：D．
8．（2017春?中山市校级月考）某体育彩票规定：从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为（ ） A．2000元 B．3200元 C．1800元 D．2100元 【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题， 第1步从01到17中选3个连续号有15种选法； 第2步从19到29中选2个连续号有10种选法； 第3步从30到36中选1个号有7种选法． 由分步计数原理可知：
满足要求的注数共有15×10×7=1050注， 故至少要花1050×2=2100， 故选：D．
二．填空题（共10小题）
9．（2018?上海二模）设x1，x2，x3，x4∈{﹣1，0，2}，那么满足2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的所有有序数对（x1，x2，x3，x4）的组数为 45
【解答】解：①|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=2，0+0+0+2=2，有4种，1+0+1+0=2，有6种，故有10组；
②：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=3，0+1+1+1=3，有4种，0+1+2+0=3，有C41C31=12种，故有16组；
③：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=4，1+1+1+1=4，有1种，0+1+1+2=4，有C41C31=12种，0+0+2+2=4，有C41C31=6种，故有19组； 综上，共45组， 故答案为：45．
人教版高中数学理科班选修2-3提高讲义
