∵∠AOC与∠BOC互余， ∴∠AOC+∠BOC=90°， ∵∠AOC=40°， ∴∠BOC=50°， ∵OC平分∠MOB， ∴∠MOC=∠BOC=50°， ∴∠BOM=100°， ∵∠MON=40°，
∴∠BON=∠MON-∠BOM=140°-100°=40°，
【分析】（1）先根据余角的定义计算∠BOC=50°，再由角平分线的定义计算∠BOM=100°，根据角的差可得∠BON的度数；（2）同理先计算∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，再根据∠BON=∠MON-∠BOM列等式即可；（3）同理可得∠MOB=180°-2α，再根据∠BON+∠MON=∠BOM列等式即可.
13．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P.
（1）如果∠A=80° ， 求∠BPC= ________.
（2）如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)________.
（3）将直线MN绕点P旋转。
(i)当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。
(ii)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试问(i)中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。
【答案】 （1）130° （2）90°﹣ ∠A （3）解：(i)∠MPB+∠NPC= 理由如下： ∵∠BPC=
+ ∠ A ，
?∠BPC=180°?(
+ ∠A)=
?12 ∠A.
? ∠A.
∴∠MPB+∠NPC=
(ii)不成立,有∠MPB?∠NPC= 理由如下：
? ∠A.
由题图④可知∠MPB+∠BPC?∠NPC=
，
由(1)知：∠BPC= + ∠A ， ∴∠MPB?∠NPC= ?∠BPC= ?( + ∠A)=
? ∠A.
【解析】【解答】(1)
故答案为：
得∠MPB+∠NPC=
?∠BPC=
1?(
+ ∠A)=
( 2 )由 =
? ∠A；故答案为：∠MPB+∠NPC=
? ∠A
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形的内角和定理及∠A的度数，求出∠ABC+∠ACB的值，然后再利用三角形的内角和就可求出∠BPC的度数。
（2）根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形的内角和定理得出∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，代入计算即可得出结论。 （3）(i)根据∠MPB+∠NPC= 180 ° ?∠BPC和∠BPC= 90 ° + ∠ A，代入即可得出结论；(ii)根据∠BPC= 90 ° + ∠ A及∠MPB?∠NPC= 180 ° ?∠BPC，代入求出即可得出结论
14．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为________度。
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在(2)的条件下，①如果点P运动到D点右侧（不包括D点），则∠APC与α、β之间的数量关系为________．②如果点P运动到B点左侧（不包括B点），则∠APC与α、β之间的数量关系________.（直接写出结果） 【答案】 （1）100° （2）解：∠APC=α+β，
理由是：如下图，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β， ∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）∠APC=α-β；∠APC=β-α
【解析】【解答】（1）解：如图1，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°， ∵∠PAB=125°，∠PCD=135°， ∴∠APE=55°，∠CPE=45°， ∴∠APC=∠APE+∠CPE=55°+45°=100°.
（ 3 ）解：如下图所示，当P在BD延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠1=∠PAB=α， ∵∠1=∠APC+∠PCD ∴∠APC=∠1-∠PCD， ∴∠APC=α-β，
如下图所示，当P在DB延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD，
∴∠EPC=∠PCD=β，∠EPA=∠PAB=α 又∵∠EPC=∠EPA+∠APC， ∴∠APC=β-α.
【分析】（1） 过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC
（2） 过P作PE∥AB，交AC于E， 推出 AB∥PE∥CD ，根据平行线的性质得出 ∠APE=α，∠CPE=β
，即可得出答案。
（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β ，即可得出答案。
15．（探索新知）
七年级上册潍坊市外国语数学期末试卷中考真题汇编[解析版]
