80??
40
? 16（人）．（2 分）学科#网
(60 ? 60 ? 80)
∵ x ? 10×0.15+20×0.25+30×0.3+40×0.2+50×0.1=28.5．
∴估计 A，B，C 三镇的基层干部平均每人走访 28.5 个贫困户．（5 分）
20．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）依题意，知 ? ， a2 ? b2 ? c2 ，
c 1 1
a 2
? ? 1，（2 分）
a2 4b2
9
2 2
C 的标准方程为 x??y
解得a ? 2,b ? 3,c ? 1，故椭圆 ? 1.
4 3 （4 分）
（2）显然直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为 y ? k (x ? 2).（5 分）
设点 N (x , y ) ，直线 MN 的方程为 y ? k (x ? 2)
N
N
，联立
x2 y2 ? 1
?得， 4 3
(3? 4k 2 )x2 ?16k 2 x ?16k 2 ?12 ? 0 ，（6 分）
??2xN ??
?
16k 2 ?12
?8k 2 ? 6 3 ? 4k
2
3 ? 4k
2
， 即 xN ??
，
?8k 2 ? 6 12k
?
, ) ．
yN ? k (xN ? 2) ? ，即 N ( 3 ? 4k 2
3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
1 4k ? ? ，（8 分） ， kPF ??易 知 F2 (1,0) ， kNF
2 21
1? 4k k
12k
1
所以直线 NF2 ， PF1 的方程分别为 y ? (x ?1) ， y ? ? (x ?1) ，
1? 4k 2 k
1 ?
y ? ? (x ?1) ??，解得 P(8k 2 ?1,?8k ) ，（10 分） k 由??? y ? 4k (x ?1) ? 1? 4k 2
?? 1 2 2 2
x2 y2
代入 ? ? 1，得192k 4 ? 208k 2 ? 9 ? 0 ，即(24k ?1)(8k ? 9) ? 0 ，得 k ? ，
4 3 24
4k
所以k ? ?
6 ，故直线l 的方程为 y ? 6 (x ? 2) 或 y ? ? 6 (x ? 2)．（12 分）
12 12 12
21．（本小题满分 12 分）
①当 e+1–a≥0，即 a≤e+1 时，x∈（1，+∞）时， F'(x) > F'(1) ≥0， F (x) 在（1，+∞）单调递增，
又 F（1）=0，故当 x≥1 时，关于 x 的方程 ex–ax+lnx–e+a=0 有且只有一个实数解 1；（9 分） ②当 e+1–a<0，即 a>e+1 时，
F'(1) <0，F'(ln a) =a–a ??
1
? a–a=0，又lna>ln（e+1）>1， lna
故存在 x0∈（1，lna）， F'(x0) =0，当 x∈（1，x 0）时， F'(x) <0 ，F（x）单调递减，又 F（1）=0，
故当 x∈（1，x0]时，F（x）<0，
在[1，x0）内，关于 x 的方程 ex–ax+lnx–e+a=0 有一个实数解 x=1．（10 分）
2 2 又 x∈（x0，+∞）时， F'(x) >0，F（x）单调递增，且 F（a）=e +a lna–a +a–e>e –aa +1，
令 k（x）=ex–x2+1（x≥1），则k'(x) ? e x ? 2x ，易知 在（1，+∞）单调递增，
k'(x)
又 k'(1) ? e? 2 ? 0 ，故k'(x) ? 0 ，从而k(x) 在（1，+∞）单调递增， 故 k(a) ? k(1) ? e ? 0 ，所以 F（a）>0，学^科网
又 a ? a ? x0，由零点存在定理可知，存在 x1∈（x0，a），F（x1）=0，
e
故在（x0，a）内，关于 x 的方程 ex–ax+lnx–e+a=0 有一个实数解 x1，
所以此时方程有两个解．
综上可得，实数 a 的取值范围为(??,e?1]．（12 分）
22．（本小题满分 10 分）选修 4–4：坐标系与参数方程
23．（本小题满分 10 分）选修 4–5：不等式选讲
【解析】（1）不等式 f (x) ? 7x ，即 2x ? 6 ? 2x ?1 ? 7x ，
1??1
?x ? ? ?? ? x ? 3 ?x ? 3 ① ③ ?
可化为 ??2 ，或② ? 2 ， ，或
?2x ? 6 ? 2x ?1 ? 7x ??????2x ? 6 ? 2x ?1 ? 7x
?2x ? 6 ? 2x ?1 ? 7x
x ，解③ x ? 3解① 无解，解② 得 ，（4 分）
得
综合得：
x?1，即原不等式的解集为{ | ? 1}．（5 分）
（2）由绝对值不等式的性质可得 f ?x? ? 2x ? 6 ? 2x ?1 ? ?2x ? 6?? ?2x ?1? ??∵关于 x 的方程
?
7 ，（7 分）
f x m
存在实数解，
∴ m ? 7 ，解得： m ? 7 或m??7．学科/网
? ? ?
∴实数 m 的取值范围为 m ? 7 或 m ? ?7
．（10 分）
《2019年衡水金卷先享题押题卷》理科数学(理)(Ⅰ)(答案)
