2024年高考数学复习 专题03 立体几何 立体几何中的向量方法(二)求空间角与距离考点剖析

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2024年高考数学复习 专题03 立体几何 立体几何中的向量方法（二）求

空间角与距离考点剖析

主标题：立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离

副标题：为学生详细的分析立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：空间角，距离 难度：2 重要程度：4

考点剖析：

1．能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题．

2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

命题方向：对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．

规律总结：

1．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．

(1)求两异面直线a，b的夹角θ，须求出它们的方向

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向量a，b的夹角，则cos θ＝|cos|.

(2)求直线l与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sin θ＝|cos|.

(3)求二面角α－l－β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝或π－.

2．(1)利用向量夹角转化为各空间角时，一定要注意向量夹角与各空间角的定义、范围不同．

(2)求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点. 3.利用向量法求空间角要破“四关”

利用向量法求解空间角，可以避免利用定义法作角、证角、求角中的“一作、二证、三计算”的繁琐过程，利用法向量求解空间角的关键在于“四破”．第一破“建系关”，第二破“求坐标关”；第三破“求法向量关”；第四破“应用公式关”，熟记线面成的角与二面角的公式，即可求出空间角．

知 识 梳 理

1．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

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a与b的夹角 l1与l2所成的角θ β π???0，? 2??范围 [0，π] cos β＝求法 cos θ＝|a·b| |a||b|a·b |a||b|2.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为

|a·n|

.

|a||n|

θ，a与n的夹角为β.则sin θ＝|cos β|＝

3．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面

→

→

角的大小θ＝.

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos|，二面角的平面角大小是向量

n1与n2的夹角(或其补角)． 4．利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离

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