课时达标检测（十六） 导数与函数的综合问题
[一般难度题——全员必做]
1．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x)e.
(1)讨论f(x)的单调性；
2
x(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝(1－2x－x)e.
2
x令f′(x)＝0，得x＝－1－2或x＝－1＋2.
当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)＜0；
当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)＞0；
当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)＜0.
所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)
x上单调递增．
x(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e.
x①当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e，则h′(x)＝－xe＜0(x＞0)．
因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，
又h(0)＝1，故h(x)≤1，
所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.
x②当0＜a＜1时，设函数g(x)＝e－x－1，
则g′(x)＝e－1＞0(x＞0)，
x 所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，
故e≥x＋1.
2
x当0＜x＜1时，f(x)＞(1－x)(1＋x)，
2
2
(1－x)(1＋x)－ax－1＝x(1－a－x－x)，
取x0＝
2
5－4a－1
，2
则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)－ax0－1＝0，
故f(x0)＞ax0＋1.
5－1
，2
当a≤0时，取x0＝2
则x0∈(0,1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)＝1≥ax0＋1.
综上，a的取值范围是[1，＋∞)．
2．(2018·沈阳监测)已知函数f(x)＝aln x(a>0)，e为自然对数的底数．
(1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值；
?1?(2)当x>0时，求证f(x)≥a?1－?；?x?
(3)若在区间(1，e)上e－ex<0恒成立，求实数a的取值范围．
a
解：(1)由题意得f′(x)＝，
x
a
∴f′(2)＝＝2，∴a＝4.
2
1??(2)证明：令g(x)＝a?ln x－1＋?(x>0)，x??
?11?则g′(x)＝a?－?.?xx2?
?11?令g′(x)>0，即a?－?>0，解得x>1，?xx2?
令g′(x)<0，解得0 ∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ?1?∴g(x)的最小值为g(1)＝0，∴f(x)≥a?1－?.?x? x－1 (3)由题意可知e a x－1 又x∈(1，e)，∴a>. ln x 1 ln x－1＋ xx－1 令h(x)＝，则h′(x)＝， ln x1 由(2)知，当x∈(1，e)时，ln x－1＋>0， x∴h′(x)>0，即h(x)在(1，e)上单调递增， ∴h(x) 故实数a的取值范围为[e－1，＋∞)． 1 3．(2018·海南校级联考)已知函数f(x)＝＋kln x，k≠0. x(1)当k＝2时，求函数f(x)的图象的切线斜率中的最大值；(2)若关于x的方程f(x)＝k有解，求实数k的取值范围． 1 解：(1)函数f(x)＝＋kln x的定义域为(0，＋∞)， x f′(x)＝－＋(x>0)． 1kx2x 12?1?2 当k＝2时，f′(x)＝－＋＝－?－1?＋1≤1，当且仅当x＝1时，等号成立． x2x?x? 所以函数f(x)的图象的切线斜率中的最大值为1. 1 (2)因为关于x的方程f(x)＝k有解，令g(x)＝f(x)－k＝＋kln x－k，则问题等价于 x1kkx－1 函数g(x)存在零点．g′(x)＝－＋＝.当k<0时，g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立， x2xx211?1?所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为g(1)＝1－k>0，g(e1－)＝＋k?1－?－ k1?k? e1－k k＝ 11 －1<－1<0，所以函数g(x)存在零点．当k>0时，令g′(x)＝0，得x＝.g′(x)，1eke1－ k 1 g(x)随x的变化情况如下表： x ?0，1??k???－ 1k0 ?1，＋∞??k??? ＋g′(x)g(x)极小值1?1??1?所以g??＝k－k＋kln ＝－kln k为函数g(x)的最小值，当g??>0，即0 k?k??k?1?1?数g(x)没有零点，当g??≤0，即k≥1时，注意到g(e)＝＋k－k>0，所以函数g(x)存在零 e?k? 点．综上，当k<0或k≥1时，关于x的方程f(x)＝k有解． [中档难度题——学优生做] 1．(2018·广东珠海期末)已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a>0，设g(x) (2)对任意x1>x2>0， － x1－x2 m ＝ln x＋. x (1)求a的值； <1恒成立，求实数m的取值范围； (3)讨论方程g(x)＝f(x)＋ln(x＋1)在[1，＋∞)上根的个数． 1x＋a－1 解：(1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)，f′(x)＝1－＝. x＋ax＋a 由f′(x)＝0，解得x＝1－a>－a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－a,1－a) 1－a (1－a，＋∞)
2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用课时达标检测十六导数与函数的综合问题理
