2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：
三角形综合题（一）
1．定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在△ABC中，若AB2+AC2﹣AB?AC＝BC2，则△ABC是“和谐三角形”．
（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是 命题（填“真”或“假”）． （2）若Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若△ABC是“和谐三角形”，求a：b：c．
（3）如图2，在等边三角形ABC的边AC，BC上各取一点D，E，且AD＜CD，AE，BD相交于点F，BG是△BEF的高，若△BGF是“和谐三角形”，且BG＞FG．
①求证：AD＝CE．
②连结CG，若∠GCB＝∠ABD，那么线段AG，FE，CD能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由．
2．在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，D为边AC的中点．
（1）如图1，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，求线段CE的长；
（2）连接BD，作线段BD的垂直平分线分别交边BC、BD、AB于点P、O、Q． ①如图2，当∠BAC＝90°时，求BP的长；
②如图3，设tan∠ABC＝x，BP＝y，求y与x之间的函数表达式和tan∠ABC的最大值．
3．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E是射线CB上的动点，连接DE，DF⊥DE交射线AC于点F．
（1）若点E在线段CB上． ①求证：AF＝CE．
②连接EF，试用等式表示AF、EB、EF这三条线段的数量关系，并说明理由． （2）当EB＝3时，求EF的长．
4．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（0，2），动点A从原点O出发，沿着x轴正方向移动，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形△ABP，设动点A的坐标为（t，0）（t≥0）．
（1）当t＝2时，点P的坐标是 ；当t＝1时，点P的坐标是 ； （2）求出点P的坐标（用含t的代数式表示）；
（3）已知点C的坐标为（1，1），连接PC、BC，过点P作PQ⊥y轴于点Q，求当t为何值时，当△PQB与△PCB全等．
5．对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么称点M1，M2，M3，……，Mn为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PMn为△ABC关于点P的等距线段．
（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．
①点B，C △ABC关于点P的等距点，线段PA，PB △ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；
（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）
6．已知：△ABC，∠A＝45°，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上一点，且AD＝
+2，M是线段CD上一个动点，连接BM，延长MB到H，使得HB＝MB，以点B为中心，将线段BH逆时针旋转45°，得到线段BQ，连接AQ． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠ABQ＝∠AMB；
（3）点N是射线AC上一点，且点N是点M关于点D的对称点，连接BN，如果QA＝BN，求线段AB的长．
7．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，动点M从点A出发沿A﹣C﹣B向点B匀速运动，动点N从点B出发沿B﹣C﹣A向点A运动．设MC的长为y1（cm），NC的长为y2（cm），点M的运动时间为x（s），y1、y2与x的函数图象如图2所示． （1）线段AC＝ cm，点M运动 s后点N开始运动； （2）求点P的坐标，并写出它的实际意义； （3）当∠CMN＝45°时，求x的值．
8．综合与实践 问题情境
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E是射线AB上一点，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，且交直线CD于点G．
（1）如图1，当点E在线段AD上时，求证：CG＝AE．
2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：三角形综合题(一)
