数学高考《集合与常用逻辑用语》复习资料
一、选择题
1．给出下列命题，则假命题的个数是（ ）
①若a,b,c?R，则“a?b”的充要条件是“ac2?bc2”；
②给定两个命题p，q，?p是q的必要不充分条件，则p是?q的充分不必要条件； ③设x,y?R，若x?y?7，则x?3或y?4；
④命题“若m?0，则方程x2?2x?3m?0有实数根”的否命题．（ ） A．0 【答案】C 【解析】 【分析】
当c=0时，ac2?bc2不成立，反过来，若ac2?bc2，则可得a?b，即可判断①；利用原命题与逆否命题的关系可判断②③，写出否命题即可判断④. 【详解】
若a?b，当c=0时，ac2?bc2不成立，反过来，若ac2?bc2，则可得a?b，故
B．1
C．2
D．3
ac2?bc2是a?b的充分不必要条件，故①错误；
若?p是q的必要不充分条件，由原命题与逆否命题的等价性可知，?q是p的必要不充分
条
件，即p是?q的充分不必要条件，故②正确；
若x?y?7，则x?3或y?4的逆否命题为若x?3且x?4，则x?y?7，显然逆否命 题为真命题，则原命题也为真命题，故③正确；
若m?0，则方程x2?2x?3m?0有实数根的否命题为若m?0，则方程
x2?2x?3m?0无实根，
显然是假命题，因为m?0时，方程就有实根，故④错误. 故选：C 【点睛】
本题考查判断命题的真假，涉及到充分条件、必要条件、四种命题之间的关系，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
2．记全集U?{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{4,6,7,8} 【答案】C
B．{2}
C．{7,8}
D．{1,2,3,4,5,6}
【解析】 【分析】
根据图像可知，阴影部分表示的是CU?A?B?,由此求得正确结论. 【详解】
根据图像可知，阴影部分表示的是CU?A?B?,AUB??1,2,3,4,5,6?,故
CU?A?B???7,8?，故选C.
【点睛】
本小题主要考查集合的并集和补集的概念即运算，考查图像所表示集合的识别，属于基础题.
?x?y?1?0?3．已知?7x?y?7?0，表示的平面区域为D，若“?(x,y),2x?y?a”为假命题，则实
?x?0,y?0?数a的取值范围是（ ） A．[5,??) 【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“?(x,y),2x?y?a”为真命题，由恒等式的思想可得实数
B．[2,??)
C．[1,??)
D．[0,??)
a的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令Z?2x?y得y??2x?Z，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A处取得最大值，
?x?y?1?0?47?联立直线方程?得点A?,?，所以Z?2x?y的最大值为5，
?33??7x?y?7?0因为“?(x,y)?R,2x?y?a”为假命题，所以“?(x,y),2x?y?a”为真命题，所以实数a的取值范围是5?a， 故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，
属于中档题.
4．已知p，q是两个命题，那么“p?q是真命题”是“?p是假命题”的( ) A．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
由充分必要条件及命题的真假可得：“p?q是真命题”是“?p是假命题”的充分不必要条件，得解. 【详解】
解：因为“p?q是真命题”则命题p，q均为真命题，所以?p是假命题， 由“?p是假命题”，可得p为真命题，但不能推出“p?q是真命题”， 即“p?q是真命题”是“?p是假命题”的充分不必要条件， 故选：C． 【点睛】
本题考查了充分必要条件及命题的真假，属于基础题．
B．充分必要条件 D．必要不充分条件
5．在?ABC中，“tanBtanC?1”是“?ABC为钝角三角形”的（ ） A．充分非必要条件 条件 【答案】C 【解析】
分析：从两个方向去判断，先看tanAtanB?1能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
tanAtanB?1成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果. 详解：由题意可得，在?ABC中，因为tanAtanB?1，
sinAsinB?1，因为0?A??,0?B??， 所以
cosAcosB所以sinAsinB?0，cosAcosB?0，
结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为sinAsinB?cosAcosB，
?所以cosAcosB?sinAsinB?0，即cos(A?B)?0，所以?A?B??，
2?因此0?C?，所以?ABC是锐角三角形，不是钝角三角形，
2所以充分性不满足，
反之，若?ABC是钝角三角形，也推不出“tanBtanC?1，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的
等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
6．已知圆C:x2?(y?1)2?r2(r?0)，设p:0?r?32；q：圆C上至多有2个点到直线x?y?3?0的距离为2，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
由圆C的圆心为(0,1)，得到其到直线x?y?3?0的距离为22，利用“r,d”法，分析当
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
0?r?2，r?2，2?r?32，r?32，r?32时，圆C上的点到直线
x?y?3?0的距离为2的个数，再根据逻辑条件的定义求解.
【详解】
圆C的圆心为(0,1)，其到直线x?y?3?0的距离为22． 当0?r?当r?2时，圆上没有点到直线的距离为2；
2时，圆上恰有一个点到直线的距离为2；
当2?r?32时，圆上有2个点到直线的距离为2； 当r?32时，圆上有3个点到直线的距离为2； 当r?32，圆上有4个点到直线的距离为2．
若圆C上至多有2个点到直线x?y?3?0的距离为2，则0?r?32． 所以p是q的充要条件． 故选：C． 【点睛】
本题主要考查逻辑条件以及直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
7．给出下列说法： ①定义在?a,b?上的偶函数②“x?
f?x??x2??a?4?x?b的最大值为20；
?4
”是“tanx?1”的充分不必要条件；
③命题“?x0??0,???，x0?其中正确说法的个数为（ ） A．0 【答案】D 【解析】
B．1
1?2”的否定形式是“?x??0,???，x?1?2”． x0xC．2
D．3
【分析】
根据偶函数的定义求得a、b的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程
tanx?1，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论. 【详解】
a?42对于命题①，二次函数f?x??x??a?4?x?b的对称轴为直线x?，
2a?4?0，得a??4，且定义域??4,b?关于原点对称，则b?4， 该函数为偶函数，则2所以，f?x??x?4，定义域为??4,4?，?f?x?max?f??4??20，命题①正确；
2对于命题②，解方程tanx?1得x?k??所以，x?则“x?
?4?k?Z?，
?4?tanx?1，x??4??tanx?1，
?4
”是“tanx?1”的充分不必要条件，命题②正确；
对于命题③，由特称命题的否定可知③正确. 故选：D. 【点睛】
本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．
8．数列?an?的通项公式为an?n?cn?N条件． A．必要而不充分 【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知an?1?an?0，解得c?n?B．充要
C．充分而不必要
D．即不充分也不必要
???．则“c?2”是“?a?为递增数列”的（ ）
n1，由此得到若?an?是递增数列，则23，根据推出关系可确定结果. 2【详解】 c?若“?an?是递增数列”，则an?1?an?n?1?c?n?c?0， 即?n?1?c???n?c?，化简得：c?n?221， 2
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