高中数学章末检测(三)导数及其应用新人教A版选修1_1

章末检测(三) 导数及其应用

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f ′(x)＝g ′(x)，则f(x)与g(x)满足( ) A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0 C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数

解析：由f ′(x)＝g ′(x)，得f ′(x)－g ′(x)＝0， 即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)． 答案：C

x2＋a22．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝( )

xA．a B．±a C．－a D．a

2

?x＋a?′＝2x·x－x＋a解析：y′＝??x2?x?

答案：B 3．函数f(x)＝A．(－∞，1) C．(－1,1) 解析：函数f(x)＝

2222

x2－a222

＝2，由x0－a＝0得x0＝±a.

xx1－x2

的单调递增区间是( )

B．(1，＋∞)

D．(－∞，1)∪(1，＋∞)

x1－x2

2

的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，

f ′(x)＝?

＝＝

1－x1－x2

x?

?1－x?′ ??

2

－x·[1－x4

1－x]′

.

2

＋2x1－x1＋x＝4

1－x1－x3

1＋x令f ′(x)>0，则>0得－1

1－x故函数f(x)＝答案：C

x1－x2

的单调递增区间是(－1,1)．

4．函数f(x)＝＋x－3x－4在[0,2]上的最小值是( )

3

171064A．－ B．－ C．－4 D．－

333解析：f ′(x)＝x＋2x－3，

令f ′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)， 1710又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，

3317

故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－. 3答案：A

5．曲线y＝－x＋3x在点(1,2)处的切线方程为( ) A．y＝3x－1 C．y＝3x＋5

2

2

3

22

x3

2

B．y＝－3x＋5 D．y＝2x

解析：依题意得，y′＝－3x＋6x，y′|x＝1 ＝－3×1＋6×1＝3，即所求切线的斜率等于3，故所求直线的方程是y－2＝3(x－1)，整理得y＝3x－1. 答案：A

x

6．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )

21

A．3 B．2 C．1 D.

2解析：设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0， 33

由y′＝x－，得k＝x0－＝2，∴x0＝3.

xx0答案：A

7．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，有f ′(x)>0，则当x<0时，有( )

A．f ′(x)≥0 C．f ′(x)≤0

B．f ′(x)>0 D．f ′(x)<0

2

解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，∵当x>0时，f ′(x)>0，∴f(x)为增函数，当x<0时，f(x)也为增函数，∴f ′(x)>0. 答案：B

232

8．已知函数f(x)＝x－2ax－3x(a∈R)，若函数f(x)的图象上点P(1，m)处的切线方程为

33x－y＋b＝0，则m的值为( )

1111A．－ B．－ C. D.

3232232

解析：∵f(x)＝x－2ax－3x，

3∴f ′(x)＝2x－4ax－3，

∴过点P(1，m)的切线斜率k＝f ′(1)＝－1－4a. 又点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0， ∴－1－4a＝3，∴a＝－1，

2312

∴f(x)＝x＋2x－3x.又点P在函数f(x)的图象上，∴m＝f(1)＝－.

33答案：A

9．设函数f(x)在R上可导，其导函数是f ′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf ′(x)的图象可能是( )

2

解析：f(x)在x＝－2处取得极小值，即x<－2，f ′(x)<0；x>－2，f ′(x)>0，那么y＝xf ′(x)过点(0,0)及 (－2,0)．当x<－2时，x<0，f ′(x)<0，则y>0；当－20，y<0；当x>0时，f ′(x)>0，y>0，故C正确． 答案：C

10．某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( ) A．32米，16米 C．40米，20米

B．30米，15米 D．36米，18米

解析：设建堆料场与原墙平行的一边边长为x米，其他两边边长为y米，则xy＝512，新墙512512

的周长l＝x＋2y＝＋2y(y>0)，令l′＝－2＋2＝0，解得y＝16(另一负根舍去)，当

yy016时，l′>0，所以当y＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，512

此时x＝＝32.

16答案：A

11．对任意的x∈R，函数f(x)＝x＋ax＋7ax不存在极值点的充要条件是( ) A．0≤a≤21 C．a<0或a>21

2

2

3

2

B．a＝0或a＝7 D．a＝0或a＝21

解析：f ′(x)＝3x＋2ax＋7a，当Δ＝4a－84a≤0，即0≤a≤21时，f ′(x)≥0恒成

立，函数不存在极值点． 答案：A

12．f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足xf ′(x)－f(x)<0，对任意正数a，b，若a

解析：∵xf ′(x)－f(x)<0， ∴?得

B．bf(a)

?fx?′＝xf′x－fx<0，所以函数fx在(0，＋∞)上是减函数，由0

fafb>，即af(b)

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知函数y＝3x－x在x＝b时有极大值c，则bc＝________. 解析：∵y′＝3－3x，令y′＝0得x＝±1， 且当x>1时，y′<0， 当－10， 当x<－1时，y′<0，

故x＝1为y＝3x－x的极大值点， 即b＝1，

又c＝3b－b＝3×1－1＝2，∴bc＝2. 答案：2

14．设f(x)＝ax＋3x＋2，若f(x)在x＝1处的切线与直线x＋3y＋3＝0垂直，则实数a的值为________．

解析：对f(x)＝ax＋3x＋2求导得：f ′(x)＝3ax＋6x.∵k＝f ′(1)＝3a＋6，

3

2

2

3

2

3

32

3

?1?∴(3a＋6)×?－?＝－1，解得a＝－1.

?3?

答案：－1

43

15．若函数y＝－x＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．

3

432

解析：若函数y＝－x＋bx有三个单调区间，则其导数y′＝－4x＋b＝0有两个不相等的

3实数根，所以b＞0. 答案：(0，＋∞)

16. 做一个无盖的圆柱水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径

为________．

解析：用料最省，即水桶的表面积最小．

27272

设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r>0)，则水桶的高为2，所以S＝πr＋2πr×2

rr54π54π2＝πr＋(r>0)，求导数，得S′＝2πr－2，令S′＝0，解得r＝3.

rr当03时，S′>0，所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省． 答案：3

三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知函数f(x)＝xn＋1

(n∈N)的图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切

*

线与x轴交点的横坐标为xn，求log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012的值．

解析：函数的导数为f′(x)＝(n＋1)x，所以在x＝1处的切线斜率为k＝f′(1)＝n＋1，所以切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝

12

.所以x1x2…x2 012＝×n＋123

nn2 01211

×…×＝，所以log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012＝log2 013＝－1.

2 0132 0132 01318．(12分)已知函数f(x)＝ax＋1(a>0)，g(x)＝x＋bx.

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间． 解析：(1)f ′(x)＝2ax，g ′(x)＝3x＋b，

2

2

2

3

f1＝a＋1＝c，??

由已知可得?g1＝1＋b＝c，

??2a＝3＋b，

3

2

解得a＝b＝3.

(2)令F(x)＝f(x)＋g(x)＝x＋ax＋x＋1，F′(x)＝3x＋2ax＋，令F′(x)＝0，得x1

44＝－，x2＝－，

26∵a>0，∴x1

由F′(x)>0得，x<－或x>－；

26由F′(x)<0得，－

∴单调递增区间是?－∞，－?，?－，＋∞?；单调递减区间为?－，－?.

2??66????219．(12分)已知函数 f(x)＝x－3ax－9ax＋a.

3

2

2

3

a2

2

a2

aaaaaa?

a??a?

?aa?