2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）复数
=（ ）
A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题．
【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数，得，由此利
用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果． 【解答】解：=
=
=1+2i． 故选C．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2．（5分）已知集合，B={1，m}，A∪B=A，则m=（ ） A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3 【考点】集合关系中的参数取值问题． 【专题】集合． 【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B?A，由此判断出参数m可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．
【解答】解：由题意A∪B=A，即B?A，又，B={1，m}， ∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，
验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求， 故选：B．
【点评】本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B?A，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值． 3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（ ） A．
B．
C． D．
【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程． 【专题】计算题．
【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．
【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且∴c=2，a2=8 ∴b2=a2﹣c2=4 ∴椭圆的方程为
故选C．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．
4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（ ） A．2 B． C． D．1 【考点】直线与平面所成的角． 【专题】计算题．
【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可
【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥平面BDE，
∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，
在三棱锥E﹣ABD中，VE﹣ABD=S△ABD×EC=××2×2×在三棱锥A﹣BDE中，BD=2∴VA﹣BDE=×S△EBD×h=×2∴h=1 故选 D
，BE=×h=
，DE=
=
×
=2
，∴S△EBD=×2
【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题
5．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列项和为（ ）
的前100
A． B． C． D．
【考点】数列的求和；等差数列的前n项和． 【专题】计算题．
【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求an，代入可得
=
=
，裂项可求和
【解答】解：设等差数列的公差为d 由题意可得，
解方程可得，d=1，a1=1
由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n ∴
=
=
=1﹣
=
故选A 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题
6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若（ ） A．
B．
C．
=，=，?=0，||=1，||=2，则=
D．
【考点】平面向量的综合题．
【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD?AB可求AD，进而可求
，从而可求
与
的关系，进而可求
【解答】解：∵∴CA⊥CB ∵CD⊥AB ∵||=1，||=2
?=0，
∴AB=
由射影定理可得，AC2=AD?AB ∴
∴∴故选D
=
=
【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．
7．（5分）已知α为第二象限角，A．﹣
B．﹣
C．
D．
，则cos2α=（ ）
【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系． 【专题】三角函数的求值．
【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα=cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α 【解答】解：∵sinα+cosα=∴sin2α=﹣，①
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=， ∵α为第二象限角， ∴sinα＞0，cosα＜0， ∴sinα﹣cosα=
，②
，两边平方得：1+sin2α=，
，利用
∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα） =（﹣=﹣
．
）×
故选A．
【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα=
是关键，属于中档题．
8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题．
【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值． 【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程
﹣
=1，则a=
，b=，
，c=2，
设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2∴|PF1|=4，|PF2|=2， ∵|F1F2|=2c=4， ∴cos∠F1PF2=
=
=
=．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．
9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，
，则（ ）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 【考点】不等式比较大小． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1， 0＜log52＜log5
=，即y∈（0，）；
＞，即可得到答案．
1=e0＞
=＞=，即z∈（，1），
∴y＜z＜x．
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题． 10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（ ） A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1
【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系． 【专题】计算题．
【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)答案与解析
