3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
一、教学目标
知识与技能：用向量表示直线或点在直线上的位置，用向量方法求证直线与直线平行，直线与平面平行，直线与直线垂直。
过程与方法；通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法。 二、教学重点
直线的方向向量，平行关系的论证。 三、教学过程
（一）引入复习检测
在平面向量的学习中，我们得知
1.M、A、B三点共线?_______________ ____________ 2. A、B是直线l上任意两点。O是l外一点.
动点P在l的充要条件是________________ _______________ 上述式子称作直线l的 ，实数t叫参数。 3.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则有l1⊥l2? cosθ= （二）讲解新课
1.用向量表示直线或点在直线上的位置
(1)给定一个定点A和一个向量a，如图所示，再任给一个实数t,以A为起点作向量AP?ta. ① 这时点P的位置被完全确定，容易看到，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是一条通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，在直线l上任取一点P，一定存在一个实数t，使AP?ta.向量方程①通常称作＿＿＿＿＿＿＿.向量a称为该＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
(2)直线的向量方程①,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O(如图所
示),点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式OP?OA?ta. ② 如果在l上取AB?a, 则②式可化为OP?OA?tAB?OA?t(OB?OA) 即 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ③
①或②或③都叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
例1 已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，以AB的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件
(1)AP:PB=1:2 (2)AQ:QB=-2 求点P和点Q的坐标.
变式1：已知点A（-2，3，0），B（1，3，2），以 AB的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上两点，且满足条件： (1)AQ:QB=-2; (2)AP:PB=2:3求点P和点Q的坐标.
2.用向量方法证明空间中有关平行的问题 (1)线线平行与向量的关系
则l1//l2或l1与l2重合?v1//v2. 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，(2)线面平行与向量的关系
已知两个不共线向量v1，v2与平面?共面，一直线l的一个方向向量为v，OxzlQBPAyl//?或l????!实数对x,y，使v?xv1?yv2. (3)面面平行与向量的关系
?//?或?与?重合?v1//?且v2//?. 已知两个不共线向量v1，v2与平面?共面，例2 如图，已知正方体ABCD－A’B’C’D’，点M，N 分别是面对角线A’B 与面对角线A’C’的中点，求证：MN//侧面AD’；MN//AD’；并且MN=
A'D'NB'MADBCC'1AD?. 2
3.空间直线的垂直和夹角问题
设两条直线所成角为?（锐角），则直线方向向量的夹角与? ，设直线l1或l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2? ，cos?= . 例3 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点。
求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C
五、知识总结
用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量。共分三步：
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系； (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题。
人教B版高中数学选修(2-1)-3.2《直线的方向向量与直线的向量方程》参考教案
