第六讲 矩阵的特征值与特征向量
一、矩阵的特征值与特征向量
1. 特征值与特征向量 方阵A, 若数?0和非零向量?, 使得
A???0?,
则称?0是A的特征值, ?是A的属于?0的特征向量.
特征值与特征向量的含义：
A???0????0E?A?x??有非零解???0E?A?0??0是n次多项式方程?E?A?0的根* n阶方阵恰有n个特征值 * 特征向量是非零向量 2. 特征值与特征向量的求法
步骤一 计算特征多项式步骤二 因式分解
?E?A
?E?A, 求出全部特征值?1,?2,L,?n
步骤三 解齐次方程组??iE?A?x??(i?1,2,,Ln), 求出全部特征向量 3. 特征值与特征向量的性质(P107 定理6.1) (1)
?a???;
iiii?1i?1nn(2)A???;
ii?1n(3)定理1(P107 定理6.2) (4)定理2(P108 定理6.3) (5)定理3(P112 定理6.6) P112 二、相似矩阵
1. 相似矩阵/相似变换矩阵 设A,B是n阶方阵, 若存在可逆矩阵P, 使得PAP?B, 那么称A与B相似, 记为A:B, 而称P是把A变为B的相似变换矩阵. * A:B??P,?PAP?B
?1?12. 相似矩阵的性质 (1)反身性 对称性 传递性
(2)相似矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值(P108 定理6.4)
* (2)的逆命题不成立（例如 ??10??10??与??不相似）. ?01??11? (3)若A:diag??1,?2,L,?n?,则?1,?2,L,?n是A的全部特征值 3. 相似矩阵的应用
例（P111 例6.4 P49-50 12. 13.） 4. 矩阵与对角矩阵相似的条件
(1)定理1(P110 定理6.5) A:diag??1,?2,L,?n??A有n个线性无关的特征向量?1,?2,L,?n. 且P???1,?2,L,?n?.
(2)推论(P111 推论） 若A有n个互异特征值?A与对角矩阵相似.
(3)定理2(P112 定理6.6) 若?是n阶矩阵A的k重特征值, 则属于?的线性无关的特征向量的个数不大于k.
(4)推论(P113 推论） 三、实对称矩阵的相似对角化 1. 实对称矩阵的性质 (1)定理1(P114 定理6.7) (2)定理2(P114 定理6.8) (3)推论(P115 推论)
2. 实对称矩阵的正交相似对角化 (1)基本结论
定理3(P114 定理6.9) (2)计算方法 P115 (3)例子(P116 例6.5) 四、习题解答 1. P118 4. 提示: (1)
定理6.2?E?A??4?a3?3?a2?2?a1?1?a0
100?a1010?a20???0??1???2???0???0??0??＝?02
??0?1???03?????4????3???a3????0??0??1??0????0??0?(2) A2???0??0???3?????0???a0?1???????0是A属于?0的特征向量 ??02????3???0?2. P118 6.
提示：反证法 假若A:diag??1,?2,L，?n??D, 即存在可逆矩阵P, 使得A?PDP?1, 从而
???1k?Ak?PDkP?1?P??????2kO???P?1?O ???nk????ik?0,i?1,2,L,n??i?0,i?1,2,L,n?A?O, 矛盾.
故A不能与对角阵相似. 3. P118 8.
提示： 假若?1??2为A的属于?的特征向量, 即A??1??2?????1??2?. 于是有
??1????1???2????2??.
由于?1,?2线性无关, 故必有???1,???2, 矛盾.
故?1??2不为A的特征向量. 4. P118 12. 提示：A?5. P118 13.
提示： A?????A??6. P118 14.
提示：易见?2???1,1,0?,?3??0,1,?1?, 于是
TT?1??
ii1??,A*??A??
??1? A???1?2?3???2???1?10???1?????111???2?10?1?????7. P118 16.
??1???????123?3????1?10????111????L??3????10?1??1
??1?4?5?2?2?y?x?2提示： ? ??A?4yy?6?????1?4?5?2?2?y?x?2或 ? ????y?6?A?2E?08. P118 17. 18.
提示：求P, 使A?PDP?A?PDP 9. P119 1.
提示： E?A,2E?A,E?A都不可逆
?1nn?1?E?A?0,2E?A?0,E?A?0
?1,2,?1是A的全部特征值
?A??2
10. P119 2.
提示：?3垂直?1,?2, 易见?3??1,?1,0?, 或计算?3??1??2. 余同14题. 11. P119 3. 提示：
T?E?A????4????2???1??2?4,?3??2
1?r?E?A?1?303??10?????1??1E?A???10?x?:?00?x?1??x?1
?303??000?????212. P119 4.
提示：A?????A????,i?1,2,L,m
ii?f?A???f?????若?是A的特征值?f???是f?A?的特征值13. P119 5.
记住结论：A:B?f?A?:f?B? 14. P119 6.
提示：由P119 4.可知,
?是A的特征值?f???是f?A?的特征值
另f?A??O, 所以f?A?的特征值为零 所以f????0
15. P119 7.
提示：A?????P?1A???P?1??P?1APP?1???P?1?, 故P?是P?1AP的特征值?所对应的特征向量 16. P119 8.
?1?1提示：设PAP?D1,QBQ?D2.
?????1A:B?P?1AP?B
?A??E?P?1AP??E?B??E?0
即A,B有相同的特征值 反之, 设D1＝D2
?P?P?1AP?Q?1BQ?A?PQ?1BQP?1
即A,B相似 17. P119 9.
?1??1??1???????111提示： A的各行元素之和都是零?A?????0???0是A的一个特征值, 且??是相应于0的特
?M??M??M?????1???1???1????????征向量 18. P119 10.
T?ATA?E??A???? ???TT?AA???A??A?????提示：????????1????1
A?02??0v2??1是A的特征值19. P119 11.
提示：参见P51 5.(2)
?En?AB??n?m?Em?BA(??0)?AB与BA有相同的非零特征值20. P119 12.
提示：A?A?E??O?r?A??r?A?E??n
E?A??E?A??n?r?E??r?A??r?E?A?
第六讲矩阵特征值与特征向量
