欧阳语创编
大一上学期高数期
末考试
时间：2021.03.01 创作：欧阳语 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. 设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有( ).
（A）导.
2.
f?(0)?2（B）f?(0)?1（C）f?(0)?0（D）f(x)不可
设?(x)?1?x，?(x)?3?33x，则当x?1时（ ）1?x.
（A）?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）
?(x)与?(x)是等价无穷小；
（C）?(x)是比?(x)高阶的无穷小；（D）?(x)是比?(x)高阶的无穷小.
3. 若
F(x)??(2t?x)f(t)dt0x，其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可
导且f?(x)?0，则（）.
（A）函数F(x)必在x?0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x?0处取得极小值；
（C）函数F(x)在x?0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线
y?F(x)的拐点；
（D）函数F(x)在x?0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线
y?F(x)的拐点。
（A）
x22（B）
x2?22（C）x?1（D）x?2.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
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4. 5.
lim(1?3x)x?02sinx? .
已知cosxcosx是f(x)的一个原函数,则?f(x)?dx?xx.
22?lim(cos?cos?n??nnn6.
212??n?1?cos?)?n.
2?7.
－x2arcsinx?11?x2dx?12.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
x?yy?y(x)e?sin(xy)?1确定，求y?(x)以及8. 设函数由方程y?(0).
19.
设函数f(x)连续，
g(x)??f(xt)dt0，且x?0limf(x)?Ax，A
为常数. 求g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.
10. 求微分方程xy??2y?xlnx满足
y(1)??19的解.
四、 解答题（本大题10分）
11. 已知上半平面内一曲线y?y(x)(x?0)，过点(0,1)，且曲
线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
12. 过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线
y?lnx及x轴围成平面图形D.
(1)
求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所
得旋转体的体积V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
13. 设函数f(x)在?0,1?上连续且单调递减，证明对任意的
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q1q?[0,1]，0?f(x)dx?q?f(x)dx0.
?14. 设函数f(x)在?0,??上连续，且
??0f(x)dx?0，
?0f(x)cosxdx?0.证明：在?0,??内至少存在两个不同的
x点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0.（提示：设
解答
F(x)??f(x)dx0）
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5.
e6?1cosx2 ()?c . 6.2x.7. 2. 8.
?3.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9.
解：方程两边求导
x?0,y?0，y?(0)??1
77x6dx?du 10. 解：u?x 11. 解：?1?3f(x)dx??xedx???x?30102x?x2dx
12. 解：由f(0)?0，知g(0)?0。
xlimg?(x)?limx?0x?0xf(x)??f(u)dux02?A?AA?22，g?(x)在x?0处连续。
dy2?y?lnxdxx13. 解：
111y?xlnx?xy(1)??,C?09 9，3四、 解答题（本大题10分）
14. 解：由已知且
y??2?ydx?y0x，
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大一(第一学期)高数期末考试题及答案之欧阳语创编
