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2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二）
（科目代码302）
考生注意事项
1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；
在答题卡指定位置上填写
报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。
3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。
考生姓名：考生编号：
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题
4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
（1）若函数
f(x)
1cosx
,xaxb,x0
(B)ab
0
在x0处连续，则（
）
(A)ab
12
12
(C)ab0
(D)
ab2
）
（2）设二阶可导函数
f(x)满足f(1)f(1)1,f(0)B
1101
1且f''(x)
0，则（
(A)(C)
1101
f(x)dx0f(x)dx
10
f(x)dx0f(x)dx
10
f(x)dx
）
Df(x)dx
（3）设数列
xn收敛，则（
(A)当limsinxn
n(C)当lim(xn
n
2
0时，limxn
n
xn)
n
00
(B)当lim(xn
n(D)当lim(xn
n
xn)
0时，limxn
n
00
0时，limxnsinxn)0时，limxn
n
（4）微分方程的特解可设为
（A）Ae（C）Ae
2x
e(Bcos2x
2x
2x
Csin2x)（B）Axe
2x
e(Bcos2x
2x
2x
Csin2x)
2x
xe(Bcos2xCsin2x)（D）Axe
2x
e(Bcos2xCsin2x)
0,
f(x,y)y
0，则
（5）设f(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y)，都有
f(x,y)x
（A）f(0,0)f(1,1)（B）f(0,0)f(1,1)（C）f(0,1)f(1,0)（D）f(0,1)f(1,0)
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线位：
，虚线表示乙的速度曲线m/s）
vv1(t)（单
v
v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为
）
10,20,3，计时开始后乙追
上甲的时刻记为（A）t0
t0（单位：s），则（
（B）15
10
t0
20
（C）t0
25
（D）t0
25
v(m/s)
10
20
051015202530
t(s)
0
（7）设
A为三阶矩阵，P
(
1
,
2
,
3
)为可逆矩阵，使得P1
AP
1
，则A(,12
,3
)
（2
（A）
12
（B）
2
2
3
（C）
23
（D）
1
2
2
2
00210100（8）设矩阵A
021,B020,C020,则（）
0
0
1
0
0
1
0
0
2
（A）A与C相似,B与C相似（B）A与C相似,B与C不相似（C）A与C不相似,B与C相似（D）A与C不相似,B与C不相似
二、填空题：914小题，每小题
4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
(9) 曲线yx1arcsin
2x
的斜渐近线方程为
_______
(10) 设函数
yy(x)由参数方程
xt
e
t
d2
y
sint
确定，则y
dx2
______
t0
(11)
ln(1x)
0
(1x)
2dx_______
(12) 设函数
f(x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)yey
dx
x(1y)ey
dy，f(0,0)
0，f(x,y)
______
1
）
dy
1（13tanx0
y
x
dx______
4
12
1（14）设矩阵A
12a的一个特征向量为1，则a_____
3
1
1
2
）
则
三、解答题：15—23小题，共演算步骤.
94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
x
（15）（本题满分10分）求极限
x
lim
0
0
xtedtx
3
t
（16）（本题满分10分）设函数
f(u,v)具有2阶连续偏导数，
y
f(e,cosx)，求
x
dydx
xdy
，2
dx0
2
x0
n
（17）（本题满分10分）求lim
n
k1
kn
2
ln1
kn
（18）（本题满分10分）已知函数
y(x)由方程x3
y
3
3x3y20确定，求y(x)的极值
（19）（本题满分10分）设函数
f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)0,lim
x
0
f(x)x
0，证明：
()方程f(x)0在区间(0,1)内至少存在一个实根；
'
()方程f(x)f(x)
(f(x))
'
2
0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
（20）（本题满分11分）已知平面区域
Dx,y|x
2
y
2
2y,计算二重积分
D
x1dxdy。
2
（21）（本题满分
11分）设y(x)是区间
0,
32
内的可导函数，且
y(1)0，点P是曲线L: yy(x)上
任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点上点的坐标
0,Yp，法线与x轴相交于点
Xp,0，若XpYp，求L
x,y满足的方程。
A
1
（22）（本题满分11分）设3阶矩阵
,
2
,
3
有3个不同的特征值，且
31
2
2
。
()证明：r(A)()若
1
2
2
3
，求方程组
Ax
的通解。
（23）（本题满分11分）设二次型
2
11
f(x1,x2,x3)2x
21
x
22
ax
23
2x1x28x1x32x2x3在正交变换
XQY下的标准型y
2
y，求a的值及一个正交矩阵
22
Q.
参考答案
1cosx
1.【答案】A【解析】lim
x0
ax
1xlim2x0ax
1,2a
f(x)在x
0
0处连续
1
12a
bab
12
.选A.
2.【答案】B【解析】f(x)为偶函数时满足题设条件，此时
1
1
1
f(x)dx23
0
f(x)dx，排除C,D.
取f(x)2x
2
1满足条件，则
1
f(x)dx
1
2x
2
1dx
0，选B.
3.【答案】D【解析】特值法：（A）取xn所以选D.
2
，有limsin
nxn0,lim
n
xn，A错；取xn
1，排除B,C.
4.【答案】A【解析】特征方程为：
480
y
*1
2x
1,2
22i
*2
f(x)
故特解为：
e(1cos2x)y
*
2x
e
2x
ecos2x
2x
2x
Ae,yxe(Bcos2x
2x
Csin2x),
y
*1
y
*2
Ae
2x
xe(Bcos2xf(x,y)y
Csin2x),选C.
f(x,y)是关于x的单调递增函数，是关于
5.【答案】C【解析】
f(x,y)xf(1,1)
0,0,
y的单调递
减函数，所以有
f(0,1)f(1,0)，故答案选D.
t00
6.【答案】B【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为
t00
v1(t)dt,
t00
v2(t)dt,则乙要追上甲，则
v2(t)v1(t)dt10，当t025时满足，故选C.
7.【答案】B【解析】
0
PAP
1
0
1
2
AP
P
1
2
A(
1
0
,
2
,
3
)(
1
,
2
,
3
)1
2
2
2
3
,
因此B正确。
8.【答案】B【解析】由
EA
0可知A的特征值为2,2,1,因为3r(2E
A)1，∴A可相似对角化，
1
即A~
020
00由2
A~C，但B不相似于C.
lim
x
00
EB0可知B特征值为2,2,1.因为3r(2EB)2，∴B不可相似对角化，
显然C可相似对角化，∴
yxx
lim(1
x
9.【答案】yx2【解析】
arcsin)
x
2
1,limy
x
xlimxarcsin
x
2x
2,
y2
2017数学2全国考研真题及答案详解.doc
