题目 柯西不等式与排序不等式 第 课时 1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理1、定理2、定理3等几种不同形式，理解它们的几何意义. 2.会用柯西不等式的代数形式和向量形式以及定理1、定理2、定理3，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值. 学习 目标 3.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式. 4.会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值. 5.了解排序不等式的结构与基本原理； 6.理解排序不等式的简单应用. 学习 重点 学习 建议 柯西不等式与排序不等式的证明有关不等式和求函数的最值. 【预学能掌握的内容】 一、柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 (1)定义：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立. (2)二维形式的柯西不等式的一些变式 变式1：a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当ad＝bc时，等号成立) 变式2：(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2.(a，b，c，d∈R＋，当且仅当ad＝bc时，等号成立) 变式3：a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时，等号成立) 2.柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立. 3.二维形式的三角不等式 22222设x1，y1，x2，y2∈R，那么x1＋y1＋x22＋y2≥（x1－x2）＋（y1－y2）. 4.设平面上三点坐标为A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，则（a1－b1）2＋（a2－b2）2＋（b1－c1）2＋（b2－c2）2≥（a1－c1）2＋（a2－c2）2，其几何意义为：|AB|＋|BC|≥|AC|. 5.设α，β，γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|，等号成立的充要条件为α－β＝λ(β－γ)(λ＞0). 5.三维形式的柯西不等式 22222设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a2(b1＋b21＋a2＋a3)·2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3).当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立. 6.一般形式的柯西不等式 222设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a2(b21＋a2＋a3＋…＋an)·1＋222b2当且仅当bi＝0(i＝1，2，3，…，2＋b3＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn)，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3，…，n)时，等号成立. 二、排序不等式 1.顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1，2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋anbn为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋ancn为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为反序和. 2.排序不等式(排序原理) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和. 【探究点一】利用柯西不等式证明有关不等式 典例分析： 例1 设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c). 规律方法 二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强记忆.例如，(a2＋b2)·(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是错误的，而应有(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2. 典例分析： a2b2例2 设a，b∈R＋，且a＋b＝2.求证：＋≥2. 2－a2－b 【探究点二】利用二维柯西不等式求最值 典例分析： 例1. 若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学人教版高二数学选修4-5领学案(无答案)：第三讲柯西不等式与排序不等式
