数列应用题 【精解名题】 一、等差、等比数列问题 等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例1、流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。 分析：设11月n日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。 略解：由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列an，a1=20,d1=50,11月n日新感染者人数an=50n—30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=—30，bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.
故共感染者人数为：(20?50n?30)n[50n?60?(?20n?570)](30?n)=8670，化简得：?22n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。 二、an- an-1=f(n),f(n)为等差或等比数列 有的应用题中的数列递推关系，an与an-1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。 例2、某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件。若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出（n∈N*）。 （1）试写出销售量s与n的函数关系式； （2）当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？ 分析：对于(1)中的函数关系，设广告费为n千元时的销量为sn,则sn-1表示广告费为(n-1)元时的销量，由题意，sn——sn-1=列{sn}不成等差也不成等比数列，但是两者的差于这类问题一般有以下两种方法求解： bb1b++…+=b(2-) 2nn32222bbb（广告费为1千元时，s=b+；2千元时，s=b++2；…n千元222bbbb时s=b++2+3+…+n） 2222b，可知数n2b件，2nb构成等比数列，对2n解法一、直接列式：由题，s=b++b2
解法二、（累差叠加法）设s0表示广告费为0千元时的销售量， b?s?s??102?b?bbbb?s2?s1?2由题：?2，相加得Sn-S0=+2+3+…+n, 2222?????s?s?bnn?1?2n?bb1b++…+=b(2-)。 2nn322221（2）b=4000时，s=4000(2-n),设获利为21t=s·10-1000n=40000(2-n)-1000n 2即s=b++b2t,则有欲使Tn最大，则：??Tn?Tn?1?n?5，得?，故n=5,此时s=7875。 ?n?5?Tn?Tn?1即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大。 三、an= C·an-1+B，其中B、C为非零常数且C≠1 例3、某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？（lg2=0.3）。 分析：设经过n年后，该项目的资金为an万元，则容易得到前后两年an和an-1之间的递推关系：an =an-1（1+25%）-200（n≥2），对于这类问题的具体求解，一般可利用“待定系数法”： 解：由题，an =an-1（1+25%）-200（n≥2），即an =an-1-200，设an +λ=（an-1+λ），展开得an =an-1+λ，λ=-200，λ=-800，5454141454
5（an-1-800），即{an -800}成一个等比数列，45n-1a1=1000(1+25%)-200=1050, a1-800=250，∴an -800=250（），an =250455（）n-1+800，令an≥4000，得（）n≥16，解得n≥12,即至少要过44∴an -800=12年才能达到目标。 四、二个（或多个）不同数列之间的递推关系 有的应用题中还会出现多个不同数列相互之间的递推关系，对于该类问题，要正确处分没数列间的相互联系，整体考虑。 例4、甲乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml，同时从甲乙两个容器中取出100ml溶液，将近倒入对方的容器搅匀，这称为是一次调和，记a1==10%,b1=20%,经（n-1）次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为an、bn， （1）试用an-1、bn-1表示an、bn； （2）求证数列 {an-bn}是等比数列，并求出an、bn的通项。 分析：该问题涉及到两个不同的数列an和bn，且这两者相互之间又有制约关系，所以不能单独地考虑某一个数列，而应该把两个数列相互联系起来。 解：（1）由题意 an=bn=400an?1?100bn?141?an?1?bn?150055； 400bn?1?100an?141?bn?1?an?1 50055（2）an-bn=an?1?bn?1=（an?1?bn?1）（n≥2），∴{an-bn}是等比数列。又a1-b1=-10%, 353535
∴an-bn=-10%()n-1.……（1） 又∵an?bn=an?1?bn?1=…= a1+b1=30%，……（2） 联立（1）、（2）得an=-()n-1·5%+15%；bn=()n-1·5%+15%。 五、理解记忆分期付款中建立方程的依据 工厂更新设备,在3535351993年初贷款100万元,从该年度末开始,每年度末偿还一定的金额,计划在10年内还清,年利率为13%,那么每年需支付金额多少？ 解法1：设每年偿还金额为x万元, 则第一年末贷款余额为100(1+13%)－x, 第二年末贷款余额为 [100(1+13%)－x](1+13%)－x=100(1+13%)2－[1+(1+13%)]x 第三年末贷款余额为 {[100(1+13%)－x](1+13%)－x}(1+13%)－x =100(1+13%)3－[1+(1+13%)+(1+13%)2]x …… ∴第10年末贷款余额为 100(1+13%)10－[1+(1+13%)+(1+13%)2+…+(1+13%)9]x ∴100(1+13%)10－[1+(1+13%)+(1+13%)2+…+(1+13%)9]x=0 100?13%(1?13%)1013?13.10?14.5万元 解得：x==1010(1?13%)?113.?1解法2：10年内,借款的本利和为100(1+13%)10万元,设每年偿还金额为x万元,则还款的本利和为
高中数学-数列应用题-老师-(七)
