理科数学A卷答案全解全析
一、选择题 1.【答案】D
【解析】集合A满足x2?3x?4?0,(x?4)(x?1)?0,A?{xx?4或x?-1},eRA?{x?1?x?4},集合B满足x?2或x?1,则(eRA)IB?[?1,1)U[2,4]
2. 【答案】B
?a??2【解析】由已知得a?3i??b?2i??i??2?bi,由复数相等的充要条件可得?,所以
b??3?z?a?bi??2?3i,所以复数z??2?3i在复平面内对应点??2,3?在第二象限,故选B.
3.【答案】D
【解析】对于命题p,在△ABC中,A?B?a?b? sinA?sinB,∴A?B是sinA?sinB的充要条件,故p正确;
1而“8x?2”? x?,∴“x?1”是“8x?2”的充分不必要条件,不是必要不充分条件,故q错
3误.选D. 4.【答案】C
【解析】若q?1,则7S2?14a1,4S4?16a1,∵a1?0,∴7S2?4S4,不合题意,若q?1,由7S2?4S4,得7?5.【答案】B
a1?1?q2?1?qa1?1?q4?1?q2,∴q??4?33.故选C. ,又q?0,∴q?421y2?1(??0),设PF1?m,PF2?n,?mnsin60??43,【解析】可设双曲线的方程为?2?4?根据余弦定理可得
m2?n2?2mncos60??4c2,(m?n)2?mn?4c2,可得4??16?4(4???),???1,
x2x2y2?1,双曲线实轴的长为2,故选B 则双曲线的方程为?146.【答案】D 【解析】三视图还原的几何体是一个侧面垂直于底面的三棱锥,记为三棱锥A?BCD,如图,过点A作AE?BD于点E,过点C作CF?BD于点F,连接CE,AF,由三视图可得, AE?4,BD?4,BE?3,ED?1,BF?2,FD?2,CF?3.所以CE2?CF2?FE2?9?1?10,AC2?CE2?AE2?10?16?26,
AB2?BE2?AE2?9?16?25,
AD2?AE2?DE2?16?1?17,BC2?DC2?FD2?CF2?22?32?13,所以最长的棱为AC,
其长度为26.故选D.
7. 【答案】B
11?π?1?π?【解析】因为y?cosx?sin?x??,所以将y?sin?2x??的图象上所有点的横坐标
22?2?2?2?π1伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,即可得到y?cosx的图象.
628.【答案】D
【解析】D:x2?y2?2x?3?0变形为(x?1)2?y2?4,可知D(?1,0),D到直线AB的距离为d??2?82?122?25,则圆上点到直线的距离的最大值为
125?2,可知S?PAB(max)?(25?2)?4?45?4,故选D.
29. 【答案】B
23?Cn 由?1??x?展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,【解析】得Cn,
n解得n?5,所以?1??x??a0?a1x?a2x2?L?a5x5.令x?0,得a0?0,令x?1得
5?1?λ?5?a0?a1?a2?La5?243,所以1?λ?3,λ?2,则?1?2x??a0?a1x?a2x2?La5x5.
n55令x??1,得a0?a1?a2?L???1?an?a0?a1?a2?L?a5??1?2???1.
10.【答案】A
【解析】∵AB?AD?BC?CD?BD?2,所以△ABD与△BDC均为正三角形.过正三角形BDC的中心O1作OO1?平面BDC(O为四面体ABCD的外接球的球心).设M为BD的中
点,外接求的半径为R,连接AM,CM,OA,过O作OG?AM于点G,易知G为△ABD的中心,则OO1?OG?MO1?MG.∵MA?31323. ∴MG?OG??3?,?2?3,GA?233322?23??3?522??R,R?在直角三角形AGO中, GA2?GO2?OA2,即?,∴ 四面体????3??3?3????ABCD的外接球的表面积S?4πR2?20π.故选A. 3
11.【答案】D
【解析】由函数f(x)是偶函数知,函数f(x)的图象关于y轴对称,由f(2?x)?f(x)知,函数f(x)的图象关于直线x?1对称,所以函数f(x)是周期函数,且最小正周期为T?2,由题知,函数g(x)的图象也关于直线x?1对称,在同一坐标系中作出函数y?f(x)图象与函数y?g(x)的图象如图所示,由图知,函数y?f(x)图象与函数y?g(x)的图象有6个交点,即函数h(x)?f(x)?g(x)恰有6个零点,从小到大的依次设为x1,x2,x3,x4,
x5,x6,则x1与x6关于直线x?1对称,x2与x5关于直线x?1对称,x3与x4关于直线x?1对称,所以x1?x6?2,x2?x5?2,x3?x4?2,所以函数h(x)?f(x)?g(x)所有零点的和为
x1?x2?x3?x4?x5?x6?6.
12.【答案】A 【解析】.∵f?x??13121x?bx?cx∴f'?x??x2?bx?c.∵f'?x?是偶函数,∴b?0,∴6221f'?x??x2?c
212?1?∵方程f'?x??lnx?0在区间?,e?上的两个不相等的实数根,∴x?c?lnx?0在区间
2?e?12?1??1?,elnx?x?c上有两个不相等的实数根,即在区间?e??e,e?上有两个不相等的实数根,2????12?1?可化为??x??lnx?x?x?0?的图像与y?c的图像在区间?,e?上的有两个不同的交点.
2?e??1??1?11?x2∵?'?x???x?,∴当x??,1?时, ?'?x??0,??x?在?,1?上单调递增,当
?e??e?xx1?1?x??1,e?时, ?'?x??0,??x?在?1,e?上单调递减,∴x??,e?时, ??x????1???.又max2?e?1111?1??1??????1?2,??e??1?e2,??????e?,∴?1?2?c??.故选A
2e22e2?e??e?二、填空题
π13.【答案】
4rrrr3?3r?【解析】a?b可知a?b?0,?3?4k?0,k?,b???1,?
4?4?rrrrr(a?4b)?a23?π?rr?a?4b?(3,4)?4??1,??(?1,7),cos??r ,可知所成的角为2a?4ba4?4?14.【答案】60
【解析】当m?0时,不合题意;当m?0时,画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,目标函数z?3x?2y可变形为y?3z3x?,作出直线y?x并平移,结合图像可知,222当平移后的直线经过点A?m,0?时,z?3x?2y取得最大值为180,所以3m?0?180,解得m?60.
165 5【解析】设AB?x,BC?y,AD?z,则CD?3z,AC?4z
15.【答案】1?ABC10得cos?ABC? ?4241122222由余弦定理得16z?x?y?2xy??x?y?xy①
42在△ABC中,由cos在△ADB中,由余弦定理得cos?ADB?在△CDB中,由余弦定理得cos?CDB?2?z2?x2
22?3z2?z2?x22?9z2?y2?? 因为?ADB??CDB?π,所以22?z22?3z化简得12z2?3x2?y2?8②
39222结合①②得32?9x?y?xy??3x?y??xy
22933?3x?y?32因为xy??3x?y??????3x?y?,当且仅当时3x?y取等号
222?2?82
22?z2?9z2?y2所以32??3x?y??所以3x?y?165 523522?3x?y???3x?y? 88853x?y165 时即3AB?BC取得最大值5516. 【答案】(2,??)
当且仅当3x?y?2【解析】因为l:x?my?2恒过定点?2,0?,即抛物线C:y?2px,?p?0?的焦点F?2,0?,所
?y2?8x以抛物线C:y?8x,联立?,整理得:y2?8my?16?0,??0恒成立,所以
?x?my?22y1?y2?8m,x1?x2?m?y1?y2??4?8m2?4,所以弦AB的中点D的坐标为
?4m2?2,4m?,直线OD的方程为:y?24m2mxy?x,由题意可知,m?0,,即224m?22m?1OEyE2m2?11???2??2, ,而ODyDm2m2与抛物C:y?8x联立可得:yE?故填?2,??? 三、解答题
4?2m2?1?mnn?117【答案】(1)证明见解析;an?2?1;(2)Tn?2??n?1??2.
【解析】(1)由题可知Sn??a1?1???a2?1???a3?1??...??an?1??2an, 即a1?a2?a3?...?an?n?2an.① 当n?1时, a1?1?2a1,得a1?1,
当n?2时, a1?a2?a3?...?an?1?n?1?2an?1,② ①-② ,得an?1?2an?2an?1,即an?2an?1?1, 所以an?1?2?an?1?1?
所以数列?an?1?是首项为2,公比为2的等比数列,
n所以an?1?2?2n?1?2n,故an?2?1
nn(2)由(1)知bn?log2?an?1??log22?n,则?an?1?bn?n?2,
Tn?1?21?2?22?3?23?...??n?1??2n?1?n?2n
2019正确教育预测密卷 - 理科数学A卷(含答案)
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