数学建模作业

由天下分享时间：2024/9/7 20:56:15 加入收藏我要投稿点赞

习题 1

1. 请编写绘制以下图形的MATLAB命令，并展示绘得的图形.

(1) x2?y2?1、x2?y2?4分别是椭圆x24?y2?1的内切圆和外切圆. (2) 指数函数y?ex和对数函数y?lnx的图像关于直线y=x对称. (3) 黎曼函数

?1q, 当x?pq(q?0)为既约分数且x?(0,1) y??? 0 , 当x为无理数且x?(0,1), 或者x?0,1的图像（要求分母q的最大值由键盘输入）.

3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次掷出3或11点，打赌者赢；如果第一次掷出2、7或12点，打赌者输；如果第一次掷出4、5、6、8、9或10点，记住这个点数，继续掷骰子，如果不能在掷出7点之前再次掷出该点数，则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？

4. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题：

(1) 如果用指数增长模型x(t)?x0er(t?t0)模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB统计工具箱的函数nlinfit计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题：

(i) 取定x0=3.9，t0=1790，拟合待定参数r；

(ii) 取定t0=1790，拟合待定参数x0和r； (iii) 拟合待定参数t0、x0和r.

要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图.

(2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MATLAB函数polyfit进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图.

(3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？

(4) 如果用阻滞增长模型x(t)?

Nx0模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，?r(t?t0)x0?(N?x0)e请用MATLAB统计工具箱的函数nlinfit计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题：

(i) 取定x0=3.9，t0=1790，拟合待定参数r和N；

(ii) 取定t0=1790，拟合待定参数x0、r和N； (iii) 拟合待定参数t0、x0、r和N.

要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图.

表1.14 美国人口统计数据(百万人) 年份

1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 2

人口年份人口 3.9 1900 76.0 5.3 1910 92.0 7.2 1920 106.5 9.6 1930 123.2 12.9 1940 131.7 17.1 1950 150.7 23.2 1960 179.3 31.4 1970 204.0 38.6 1980 226.5 50.2 1990 251.4 62.9 2000 281.4

习题 2

1. 继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？

4. 继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例，假设在第t天的生猪出售的市场价格（元/公斤）为

p(t)?p(0)?gt?ht2 (2.4.1) 其中h为价格的平稳率，取h=0.0002. 其它模型假设和参数取值保持不变.

(1) 试比较(2.4.1)式与(2.3.1)式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系. (2) 在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润.

(3) 做灵敏度分析，分别考虑h对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响. (4) 讨论模型关于价格假设的强健性.

5. 继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例，假设在第t天的生猪体重（公斤）为

w(t)?w0wm (2.4.2) ??tw0??wm?w0?e其中w0?w(0)?90（公斤），wm?270（公斤），其它模型假设和参数取值保持不变.

(1) 试比较(2.4.2)式与(2.3.2)式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系（提示：说明当α (α>0)取何值时，在t=0时可以保持w?(0)?r?1；说明当t增大时，猪的体重会如何变化）.

(2) 在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润.

(3) 参数wm代表猪长成时的最终重量，对wm做灵敏度分析，分别考虑wm对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.

(4) 讨论模型关于生猪体重假设的强健性.