a＋b
第3节 基本不等式：ab≤
2
考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知 识 梳 理
1.基本不等式：ab≤
a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
2
2
?a＋b?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤??
?2?
(3)
2
a2＋b2?a＋b?2
2
≥?
?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. ?2?
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
4[常用结论与易错提醒]
1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，
baabs2
?a＋b?≤a＋b，ab≤a＋b≤例如：ab≤??22?2?
的条件和等号成立的条件.
2
22
a2＋b22
(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立
2.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
1n4.基本不等式的一般形式：(a1＋a2＋a3＋…＋an)≥a1a2…an(其中a1，a2，a3，…，an∈(0，
n＋∞)，当且仅当a1＝a2＝a3＝…＝an时等号成立).
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误. (1)当a≥0，b≥0时，
2
2
a＋b2
≥ab.( )
(2)两个不等式a＋b≥2ab与
a＋b2
≥ab成立的条件是相同的.( )
1
(3)函数y＝x＋的最小值是2.( )
x4
(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.( )
sin x(5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.( ) 解析 (2)不等式a＋b≥2ab成立的条件是a，b∈R； 不等式
2
2
xyyxa＋b2
≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.
1
(3)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.
x4
(4)函数f(x)＝sin x＋无最小值.
sin x(5)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A.80 C.81
2
B.77 D.82
xyyx?x＋y?＝81，当且仅当x＝y＝9时取等号.
解析 xy≤???2?
答案 C
3.若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( ) A.2 C.4
B.3 D.5
xyabxy11?11?解析 因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·?＋?
abab?ab?
＝2＋＋≥2＋2答案 C
4.若函数f(x)＝x＋A.1＋2 C.3
abbaab·＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C. ba1
(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝( ) x－2
B.1＋3 D.4 1
＋2≥2x－2
（x－2）×
1
＋2＝4，当且仅当x－2
解析 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋
x－2＝
1
(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C. x－2
答案 C
5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.
11?x＋2y?2225
解析 设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤??＝2，
22?2?15
当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.
2答案 15
15 2
1x6.已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，＋的最小值为________.
xy解析 ∵正数x，y满足x＋y＝1， ∴y＝1－x，0 xyxyxyyx11x·＝1＋2＝3，当且仅当x＝y＝时取“＝”，∴＋的xy2xy最小值为3. 答案 (－1，1) 3 考点一 配凑法求最值 51 【例1】 (1)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________. 44x－5 (2)已知正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，则xy＋5x＋4y的最小值为________. 5 解析 (1)因为x＜，所以5－4x＞0， 4 1?1?则f(x)＝4x－2＋＝－?5－4x＋＋3≤ 5－4x?4x－5??－2 1 （5－4x）＋3＝－2＋3＝1. 5－4x1 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立. 5－4x1 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. 4x－5 (2)因为正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，所以y＝ 42－2x>0且x>0，解得0 （3＋x）·＋ 3＋x16?42－2x?5x＋4y＝3x＋y＋42＝3x＋＋42＝3?（3＋x）＋?＋31≥3×23＋x?3＋x? 31＝55，当且仅当x＝1，y＝10时取等号.所以xy＋5x＋4y的最小值为55. 答案 (1)1 (2)55 规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. x2＋2 【训练1】 (1)函数y＝(x>1)的最小值为________. x－1 (2)当x>0时，x＋ ax＋1 (a>0)的最小值为3，则实数a的值为________. x2＋2（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3 解析 (1)y＝＝ x－1x－1 （x－1）＋2（x－1）＋3 ＝ x－1＝(x－1)＋ 3 ＋2≥23＋2. x－1 3 ，即x＝3＋1时，等号成立. x－1 ＝x＋1＋－1≥2a－1，当且仅当x＋1＝时，等号x＋1x＋1x＋1 2 当且仅当x－1＝ (2)因为当x>0，a>0时，x＋成立，又x＋ aaaax＋1 (a>0)的最小值为3，所以2a－1＝3，解得a＝4. 答案 (1)23＋2 (2)4 考点二 常数代换或消元法求最值 易错警示 【例2】 (1)(2020·浙江“超级全能生”联考)已知正数x，y满足x＋y＝1，则的最小值是( ) 33A. 28C. 3＋22 5 7B. 66D. 5 11＋1＋x1＋2y(2)(一题多解)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________. 解析 (1)∵x＋y＝1，∴2x＋2＋2y＋1＝5，∴1)·?111＋＝(2x＋2＋2y＋1＋x1＋2y5 ?2＋1?＝1?3＋2＋4y＋2＋2x?≥3＋22，当且仅当2x2－4y2＋4x－4y＋1＝0时 ???5?2＋2x1＋2y?5?2＋2x1＋2y? 等号成立，故选C. 9－3y(2)由已知得x＝. 1＋y法一 (消元法) 9－3y因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，所以x＋3y＝＋3y 1＋y＝ 12 ＋3(y＋1)－6≥21＋y12 ·3（y＋1）－6＝6， 1＋y12 当且仅当＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6. 1＋y11?x＋3y?2 法二 ∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·??， 33?2?当且仅当x＝3y时等号成立. 设x＋3y＝t＞0，则t＋12t－108≥0， ∴(t－6)(t＋18)≥0， 又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6. 答案 (1)C (2)6 规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. 易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致. 【训练2】 (1)(一题多解)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________. 2
浙江省2021届高考数学一轮复习第二章不等式第3节基本不等式：ab≤a+b2含解析
