2020年全国硕士研究生入学统一考试
数学(二)试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． ．．．
?1.当x?0时，下列无穷小量中最高阶的是（ ）
A.
?x0(et?1)dt B.?ln(1?t3)dt C.?02xsinx0sint2dt D.?1?cosx0sin3tdt
2.函数f(x)?eln(1?x)的第二类间断点的个数为（ ）
(ex?1)(x?2)1x?1A.1 B.2 C. 3 D.4 3. A.
24.已知f(x)?xln(1?x),当n?3时，farcsinx?0x(1?x)dx?( )
1?24 B.
?28 C.
?n??? D. 48(0)?( )
A. ?
?n?2?! D.?n?2?! n!n! B. C. ?nnn?2n?2?2f?1 （3）?1 （2）
?x?y(0,0)?xy,xy?0,?f?f(x,y)?x,y?0,5.关于给出下列结论：（1）??x?y,x?0,??x,y???0,0?(0,0)limf(x,y)?0（4）limlimf(x,y)?0。其中正确的个数为（ ）
y?0x?0A.4 B. 3 C. 2 D. 1
6.设f(x)在??2,2?上可导，且f?(x)?f(x)?0，则（ ） A.
7.四阶方阵A不可逆，A12?0，?1,?2,?3,?4为矩阵A的列向量组，则A*X?0的通解为
f(?2)f(0)f(1)f(2)?1 B.?e C.?e2 D.?e3 f(?1)f(?1)f(?1)f(?1)（ ）
A.x?k1?1?k2?2?k3?3 B.x?k1?1?k2?2?k3?4 C.x?k1?1?k2?3?k3?4 D.x?k1?2?k2?3?k3?4
8.A为3阶方阵，?1,?2为属于特征值1的线性无关的特征向量，?3为A的属于-1的特征向
?1???1??1量，满足PAP???的可逆矩阵P为（ ）
?1???
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A. ??1??3,?2,??3? B.??1??2,?2,??3? B. ??1??3,??3,?2? D.??1??2,??3,?2?
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位．．．置上．
?d2y?x?t2?19.设?，则2? .
2dx??y?lnt?t?1t?1?? 10.求
11.设z?arctan?xy?sin?x?y??,则dz?0,??? .
12.斜边长为2a的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中, 且斜边与水面相齐，记重力加速度为g，水密度为?，则三角形平板的一侧收到的压力为 .
13.设y?y?x?满足y???2y??y?0, 且y?0??0，y??0??1，则
?10dy?1yx3?1dx= .
???0y?x?dx? .
a014.求
?11
0a1?1?11a01?1? . 0a三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． ．．．
15.（本题满分10分）.
x1?x求曲线y??x?0?的斜渐近线。 x?1?x?
16.（本题满分10分） 设f?x?连续, 且limx?01f?x??1,g?x???f?xt?dt， 求g??x?且证明g??x?在x?0处连续. 0x
17.（本题满分10分）
求f?x??x?8y?xy的极值。
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18.（本题满分10分）
2?1?x?2x设f?x?在?0,???上有定义，且满足2f?x??xf???
2?x?1?x（1）求f?x?；
2（2）求曲线y?f?x?,y?
19.（本题满分10分） 计算二重积分
13,y?及y围成的图形绕x轴旋转一周的体积。 22??D2x2?y2d?，其中区域D由x?1,x?2,y?x及x轴围成. x
20. (本题满分11分)
t 已知f?x???edt
1x （1）证明：????1,2?,f?????2???e；
? （2）证明：????1,2?,f?2??ln2???e。
2?2
21.（本题满分11分）
已知f?x?可导, 且f??x??0?x?0?. 曲线y?f?x?过原点, 点M为曲线y?f?x?上任意一点, 过点M的切线与x轴相交于点T, 过点M做MP垂直于x轴于点P, 且曲线y?f?x?与直线MP以及x轴所围成图形的面积与三角形MTP的面积比恒为3:2, 求曲线满足的方程.
22.（本题满分11分）
二次型f?x1,x2,x3??x1?x2?x3?2ax1x2?2ax1x3?2ax2x3经可逆线性变换x?Py222变换为g?y1,y2,y3??y1?y2?4y3?2y1y2
222（I）求a的值；
（II）求可逆矩阵P.
23.（本题满分11分）
设A为2阶矩阵，P?(α,Aα)，α是非零向量且不是A的特征向量。 （I）证明矩阵P可逆；
（II）若Aα?Aα?6α?0，求P?1AP并判断A是否相似于对角矩阵。
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