第1讲 平面向量的概念及加减运算
一、考点梳理
考点1 基本概念
→→→→
既有大小,又有方向的量叫做向量.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.|AB|叫AB的模或AB的绝对值,表示→
向量AB的长度.
(1)零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0. (2)单位向量:长度等于1个单位的向量,叫做单位向量. (3)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
(4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫共线向量. ①记法:向量a平行于向量b,记作a∥b. ①规定:零向量与任一向量平行. 例1.(1)下列物理量中不是向量的有( )
①质量;①速度;①力;①加速度;①路程;①密度;①功;①电流强度. A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
解析:(1)看一个量是否为向量,就要看它是否具备向量的两个要素:大小和方向,特别是方向的要求,对各量从物理本身的意义作出判断,①①①既有大小也有方向,是向量,①①①①①只有大小没有方向,不是向量.
(2)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点. →→→(1)作出向量AB、BC、CD; →(2)求|AD|.
→→→
解 (1)向量AB、BC、CD如图所示.
→→→→
(2)由题意,易知AB与CD方向相反,故AB与CD共线, →→又|AB|=|CD|,
①在四边形ABCD中,AB∥CD.
1
①四边形ABCD为平行四边形. →→→→
①AD=BC,①|AD|=|BC|=200 km.
(3)判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
(2)若|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反; (3)由于0方向不确定,故0不能与任意向量平行; (4)向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反; (5)起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量.
解析:(1)不正确.因为向量由两个因素来确定,即大小和方向,所以两个向量不能比较大小.
(2)不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,不能确定它们方向的关系. (3)不正确.依据规定:0与任意向量平行.
(4)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不定. (5)正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向,是可以任意移动的.
【变式训练1】.在下列命题中,真命题为( )
→→
A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同 B.向量AB与向量BA的长度相等 C.向量就是有向线段 D.零向量是没有方向的
解析:由于单位向量的方向不一定相同,故其终点不一定相同,故A错误;任何向量都有方向,零向量的方向是任意的,并非没有方向,故D错误;有向线段是向量的形象表示,但并非说向量就是有向线段,故C错误,故选B.
【变式训练2】.在如图的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1.
2
(1)试以B为终点画一个向量b,使b=a;
(2) 在图中画一个以A为起点的向量c,使|c|=5,并说出向量c的终点的轨迹是什么? 解析:(1)根据相等向量的定义,所作向量与向量a平行,且长度相等(作图略).
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心,半径为5的圆(图略). 【变式训练3】.如图所示,①ABC的三边均不相等,E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.
→
(1)写出与EF共线的向量; →
(2)写出与EF的模大小相等的向量; →
(3)写出与EF相等的向量.
解析:(1)因为E、F分别是AC、AB的中点, 1
所以EF=BC.又因为D是BC的中点,
2→
所以与EF共线的向量有:
→→→→→→→FE,BD,DB,DC,CD,BC,CB.
→→→→→→(2)与EF模相等的向量有:FE,BD,DB,DC,CD. →→→(3)与EF相等的向量有:DB与CD.
考点2 向量的加法 三角形法则
→→→
如图所示,已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和(或和向量),→→→
记作a+b,即a+b=AB+BC=AC.上述求两个向量和的作图法则,叫做向量加法的三角形法则. 对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.
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第1讲 平面向量的概念及加减运算(教师版)
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