同济大学(高等数学)-第六篇-多元微积分学

第六篇 多元微积分学

第九章 多元函数微分学及其应用

我们以前学习的函数只有一个自变量，这种函数我们称为一元函数．一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题．但是，在实际问题中往往牵扯到多方面的因素，解决这类问题必须引进多元函数．本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分及其应用．从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题，而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推．通过本章的学习，学生要掌握多元函数微分学的基本原理以及解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法.

第1节 多元函数的基本概念

1.1 平面点集

为了介绍二元函数的概念，有必要介绍一些关于平面点集的知识，在一元函数微积分中，区间的概念是很重要的，大部分问题是在区间上讨论的．在平面上，与区间这一概念相对应的概念是邻域．

1.1.1 邻域

设P0(x0,y0)是xOy平面上的一定点，?是某一正数，与点P0(x0,y0)的距离小于?的点P(x,y)的全体，称为点P0(x0,y0)的?邻域，记为U(P0,?)，即

U(P0,?)?PP0P??,

亦即 U(P0,?)?(x,y)???(x?x0)2?(y?y0)2??．

?U(P0,?)在几何上表示以P0(x0,y0)为中心，?为半径的圆的内部(不含圆周)．

上述邻域U(P0,?)去掉中心P0(x0,y0)后，称为P0(x0,y0)的去心邻域，记作U(P0,?)．

oU(P0,?)?(x,y)0?(x?x0)2?(y?y0)2??.

如果不需要强调邻域的半径?，则用U(P0)表示点P0(x0,y0)的邻域，用U(P0)表示

oo??P0(x0,y0)的去心邻域．

1.1.2 区域

下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系．

设E是xOy平面上的一个点集，P是xOy平面上的一点，则P与E的关系有以下三种情形：

(1) 内点：如果存在P的某个邻域U(P)，使得U(P)?E，则称点P为E的内点．

请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！

(2) 外点：如果存在P的某个邻域U(P)，使得U(P)E??，则称P为E的外点．

(3) 边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E的点，也有不属于E的点，则称点P为E的边界点．E的边界点的集合称为E的边界，记作?E．

例如：点集E1???x,y?|0?x2除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都是?y2?1?，

E1的内点，圆外部的点都是E1的外点，圆心及圆周上的点为E1的边界点；又如平面点集

E2???x,y?|x?y?1?，直线上方的点都是E2的内点，直线下方的点都是E2的外点，直

线上的点都是E2的边界点(图9—1)．

图9—1 显然，点集E的内点一定属于E；点集E的外点一定不属于E；E的边界点可能属于E，也可能不属于E．

如果点集E的每一点都是E的内点，则称E为开集，点集E1?是开集，E2???x,y?|0?x2?y2?1???x,y?|x?y?1?不是开集．

??x,y?|xy?0?不是连通的

设E是开集，如果对于E中的任何两点，都可用完全含于E的折线连接起来，则称开集E是连通集(图9—2) ．点集E1和E2都是连通的，点集E3?(图9—2)．

图9—2

连通的开集称为开区域(开域)．

从几何上看，开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集．如E1是开区域．开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广．

请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！

开区域E连同它的边界?E构成的点集，称为闭区域(闭域)，记作E (即E=E??E)． 闭区域是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广．如E2及E4?都是闭域，而E5???x,y?|x2?y2?1???x,y?|1?x2?y2?2?既非闭域，又非开域．闭域是连成一片的且包

含边界的平面点集．

本书把开区域与闭区域统称为区域．

如果区域E可包含在以原点为中心的某个圆内，即存在正数r，使E?U?O,r?，则称E为有界区域，否则，称E为无界区域．例如E1是有界区域，E2是无界区域．

记E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点．如果点P的任一邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点．显然，E的内点一定是E的聚点，此外，E的边界点也可能是E的聚点．例如，设E6???x,y?|0?x2?y2?1?，那么点?0,0?既是E6的边界

22点又是E6的聚点，但E6的这个聚点不属于E6；又如，圆周x?y?1上的每个点既是E6的边界点，也是E6的聚点，而这些聚点都属于E6．由此可见，点集E的聚点可以属于E，

(,)，(,),也可以不属于E．再如点E7=??1,1?，E7中的每一个点都不是聚点．

1.1.3 n维空间Rn

一般地，由n元有序实数组?x1,x2,??11221133,(11),nn??，原点?0,0?是它的聚点，?记作Rn．即 ,xn?的全体组成的集合称为n维空间，

Rn???x1,x2,n元有序数组?x1,x2,,xn?|xi?R,i?1,2,,n?．

,xn?称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标．

,xn?与Q?x1,x2,,xn?之间的距离为

类似地规定，n维空间中任意两点P?x1,x2,PQ?(y1?x1)2?(y2?x2)2??(yn?xn)2．

n前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n维空间中去，例如，P0?R，δ是某一正数，则点P0的δ邻域为

U?P0,????P|PP0??,P?Rn?．

以邻域为基础，还可以定义n维空间中内点、边界点、区域等一系列概念．

请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！

1.2 多元函数的概念 1.2.1 n元函数的定义

定义1 设D是Rn中的一个非空点集，如果存在一个对应法则f , 使得对于D中的每一个点P?x1,x2,数，记为

,xn?，都能由f 唯一地确定一个实数y，则称f为定义在D上的n元函

y?f?x1,x2,,xn?,?x1,x2,,xn??D．

其中x1,x2,,xn叫做自变量，y叫做因变量，点集D叫做函数的定义域，常记作D?f?．

取定?x1,x2,,xn??D，对应的f?x1,x2,,xn?叫做?x1,x2,,xn?所对应的函数

值．全体函数值的集合叫做函数f的值域，常记为f?D?［或R?f?］，即

f?D???y|y?f?x1,x2,,xn?,?x1,x2,,xn??D?f??．

当n=1时，D为实数轴上的一个点集，可得一元函数的定义，即一元函数一般记作

y?f?x?,x?D,D?R；当n=2时，D为xOy平面上的一个点集，可得二元函数的定义，

即二元函数一般记作z?f?x,y?,?x,y??D,D?R，若记P??x,y?，则也记作

2z?f?P?．

二元及二元以上的函数统称为多元函数．多元函数的概念与一元函数一样，包含对应法则和定义域这两个要素．

多元函数的定义域的求法，与一元函数类似．若函数的自变量具有某种实际意义，则根据它的实际意义来决定其取值范围，从而确定函数的定义域. 对一般的用解析式表示的函数，使表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域．

例1 在生产中，设产量Y与投入资金K和劳动力L之间的关系为

Y?AK?L?（其中A,?,?均为正常数)．

这是以K，L为自变量的二元函数，在西方经济学中称为生产函数．该函数的定义域为

??K,L?|K?0,L?0?．

例2 求函数z?ln?y?x??x1?x?y22的定义域D，并画出D的图形．

解 要使函数的解析式有意义，必须满足

?y?x?0,?x?0, ??1?x2?y2?0,?即D???x,y?|x?0,x?y,x2?y2?1?,如图9—3划斜线的部分．

请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！

图9—3 图9—4

1.2.2. 二元函数的几何表示

设函数z?f?x,y?的定义域为平面区域D，对于D中的任意一点P?x,y?，对应一确定的函数值zz?f?x,y?．这样便得到一个三元有序数组?x,y,z?，相应地在空间可得到一点M?x,y,z?．当点P在D内变动时，相应的点M就在空间中变动，当点P取遍整个定义域D时，点M就在空间描绘出一张曲面S (图9—4)．其中

??S???x,y,z?|z?f?x,y?,?x,y??D?．

而函数的定义域D就是曲面S在xO y面上的投影区域．

例如z?ax?by?c表示一平面；z?1?x2?y2表示球心在原点，半径为1的上半球面．

1.3二元函数的极限

二元函数的极限概念是一元函数极限概念的推广．二元函数的极限可表述为

定义1 设二元函数z?f(P)的定义域是某平面区域D，P0为D的一个聚点，当D中的点P以任何方式无限趋于Ｐ0时，函数值f(P)无限趋于某一常数A，则称A是函数f(P)当P趋于P0时的(二重)极限．记为

P?P0limf(P)?A或f(P)?A?P?P0?，

此时也称当P?P0时f(P)的极限存在， 否则称f(P)的极限不存在．若P0点的坐标为(x0,y0)，P点的坐标为?x,y?，则上式又可写为

?x,y???x0,y0?lim． f(x,y)?A或 f (x, y)→A（x→x０，y→y０）

类似于一元函数，f(P)无限趋于A可用f?P??A??来刻画，点P?P?x,y?无限

22趋于P0?P0(x0,y0)可用P因此，二元函数的极限也0P?(x?x0)?(y?y0)??刻画，

可如下定义．

请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！