教学资料范本 2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8讲函数与方程学案 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 1 / 13 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1 函数零点1．定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫 做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 2．三个等价关系 3．存在性定理 考点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋Δ>0 Δ＝0 Δ<0 c(a>0)的图象 与x轴的交点 零点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 无 x1，x2 x1 考点3 二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． [必会结论] 1．若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条 曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点．2.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示．所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通 2 / 13 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的 函数值同号．3．若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0?函数f(x)在[a，b]上只有一个零 点．[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac<0时没有零 点．( )(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)， 则f(a)·f(b)＜0.( )(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则 f(x)在(a，b)内没有零点．( ) (5)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－1≤k≤－.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2．[课本改编]函数f(x)＝x－的零点个数是( ) B．1 D．无数个 A．0 C．2 答案 C解析 令f(x)＝0，解x－＝0，即x2－4＝0，且x≠0，则x＝ ±2. 3．[课本改编]方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为( ) B．3 D．4 A．2 C．1 答案 A解析 构造函数y＝2－x与y＝3－x2，在同一坐标系中作出它们的图象，可知有两个交点，故方程2－x＋x2＝3的实数解的个数 为2.故选A. 3 / 13 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 4．[20xx·西安模拟]设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零 点所在的区间为( ) B．(1,2) D．(3,4) A．(0,1) C．(2,3) 答案 B解析 函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出图象如图，可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.5．[20xx·安徽模拟]在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a 与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________． 答案 －12解析 函数y＝|x－a|－1的大致图象如图所示，∴若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，只需2a＝－1，可得 a＝－.6．[20xx·贵阳监测]用二分法求图象连续不断的函数f(x)在(1,5)上的近似解(精确度为0.1)，求解的部分过程如下：f(1)·f(5)<0，取(1,5)的中点x1＝＝3，计算得f(1)·f(x1)<0，f(x1)·f(5)>0，则此时能判断函数f(x)一定有零点的区间为 ________． 答案 (1,3)解析 因为函数f(x)为连续函数且f(1)·f(3)<0，所以函数 f(x) 在(1,3)内一定有零点．板块二 典例探究·考向突破 考向 确定函数零点所在区间 例 1 [20xx·德州模拟]函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在 的区间是( ) B．(1，e－1) D．(2，e) A. C．(e－1,2) 4 / 13 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 答案 C解析 因为f＝ln －4<0，f(1)＝ln 2－2<0，f(e－1)＝1－<0，f(2)＝ln 3－1>0，所以f(e－1)f(2)<0，故函数的零点所在的 区间是(e－1,2)．【变式训练1】 函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为 ( ) B. D.?2，4? ?13???A. C. 答案 C解析 易知函数f(x)＝ex＋4x－3在R上为增函数，故f(x)＝ex＋4x－3至多有一个零点．∵f＝e) ＋1－3＝e) －2<0，f＝e) ＋ 2－3＝e) －1>0，∴函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为.考向 判断函数零点的个数 B．2 D．4 例 2 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )A．1 C．3 答案 B 解析 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数 y＝|log0.5x|与y＝图象的交点个数.在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝的图象如 图． 由图象易知有两个交点． 触类旁通判断函数零点个数的方法 (1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几 个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性 5 / 13 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】
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