教学资料范本 2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8讲函数与方程学案 编 辑:__________________ 时 间:__________________ 1 / 13 【本资料精心搜集整理而来,欢迎广大同仁惠存!】 板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1 函数零点1.定义:对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)(x∈D)的零点. 2.三个等价关系 3.存在性定理 考点2 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 二次函数y=ax2+bx+Δ>0 Δ=0 Δ<0 c(a>0)的图象 与x轴的交点 零点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点 无 x1,x2 x1 考点3 二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. [必会结论] 1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不断的一条 曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.2.由函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示.所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.事实上,只有当函数图象通 2 / 13 【本资料精心搜集整理而来,欢迎广大同仁惠存!】 过零点(不是偶个零点)时,函数值才变号,即相邻两个零点之间的 函数值同号.3.若函数f(x)在[a,b]上单调,且f(x)的图象是连续不断的一条曲线,则f(a)·f(b)<0?函数f(x)在[a,b]上只有一个零 点.[考点自测] 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( )(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在当b2-4ac<0时没有零 点.( )(3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断), 则f(a)·f(b)<0.( )(4)若f(x)在区间[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)>0,则 f(x)在(a,b)内没有零点.( ) (5)函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则-1≤k≤-.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.[课本改编]函数f(x)=x-的零点个数是( ) B.1 D.无数个 A.0 C.2 答案 C解析 令f(x)=0,解x-=0,即x2-4=0,且x≠0,则x= ±2. 3.[课本改编]方程2-x+x2=3的实数解的个数为( ) B.3 D.4 A.2 C.1 答案 A解析 构造函数y=2-x与y=3-x2,在同一坐标系中作出它们的图象,可知有两个交点,故方程2-x+x2=3的实数解的个数 为2.故选A. 3 / 13 【本资料精心搜集整理而来,欢迎广大同仁惠存!】 4.[20xx·西安模拟]设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零 点所在的区间为( ) B.(1,2) D.(3,4) A.(0,1) C.(2,3) 答案 B解析 函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=ln x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.作出图象如图,可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.5.[20xx·安徽模拟]在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a 与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为________. 答案 -12解析 函数y=|x-a|-1的大致图象如图所示,∴若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,只需2a=-1,可得 a=-.6.[20xx·贵阳监测]用二分法求图象连续不断的函数f(x)在(1,5)上的近似解(精确度为0.1),求解的部分过程如下:f(1)·f(5)<0,取(1,5)的中点x1==3,计算得f(1)·f(x1)<0,f(x1)·f(5)>0,则此时能判断函数f(x)一定有零点的区间为 ________. 答案 (1,3)解析 因为函数f(x)为连续函数且f(1)·f(3)<0,所以函数 f(x) 在(1,3)内一定有零点.板块二 典例探究·考向突破 考向 确定函数零点所在区间 例 1 [20xx·德州模拟]函数f(x)=ln (x+1)-的零点所在 的区间是( ) B.(1,e-1) D.(2,e) A. C.(e-1,2) 4 / 13 【本资料精心搜集整理而来,欢迎广大同仁惠存!】 答案 C解析 因为f=ln -4<0,f(1)=ln 2-2<0,f(e-1)=1-<0,f(2)=ln 3-1>0,所以f(e-1)f(2)<0,故函数的零点所在的 区间是(e-1,2).【变式训练1】 函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为 ( ) B. D.?2,4? ?13???A. C. 答案 C解析 易知函数f(x)=ex+4x-3在R上为增函数,故f(x)=ex+4x-3至多有一个零点.∵f=e) +1-3=e) -2<0,f=e) + 2-3=e) -1>0,∴函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为.考向 判断函数零点的个数 B.2 D.4 例 2 函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )A.1 C.3 答案 B 解析 函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数即为函数 y=|log0.5x|与y=图象的交点个数.在同一直角坐标系中作出函数y=|log0.5x|与y=的图象如 图. 由图象易知有两个交点. 触类旁通判断函数零点个数的方法 (1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几 个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性 5 / 13 【本资料精心搜集整理而来,欢迎广大同仁惠存!】
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