圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第5章导数和微分5.1复习笔记一、导数的概念1．相关定义（1）设函数y＝f（x）在点x0的某邻域内有定义，若极限（5-1）存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作令x＝x0＋△x，△y＝f（x0＋△x）－f（x0），则（5-1）式可改写为（5-2）（2）设函数y＝f（x）在点x0的某右邻域[x0，x0＋δ）上有定义，若右极限存在，则称该极限值为f在点x0的右导数，记作类似地，定义左导数为右导数和左导数统称为单侧导数．（3）若函数f在点x0的某邻域U（x0）上对一切x∈U（x0）有（5-3）则称函数f在点x0取得极大（小）值，称点x0为极大（小）值点．极大值、极小值统称为1/127圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台极值，极大值点、极小值点统称为极值点．2．重要定理（1）若函数f在点x0可导，则f在点x0连续．（2）若函数y＝f（x）在点x0的某邻域上有定义，则f’（x）存在的充要条件是f'＋（x0）与f'－（x0）都存在，且（3）费马定理设函数f在点x0的某邻域上有定义，且在点x0可导，若点x0为f的极值点，则必有二、求导法则1．导数的四则运算（1）若函数u（x）和ν（x）在点x0可导，则函数f（x）＝u（x）±ν（x）在点x0也可导，且（5-4）（2）若函数u（x）和ν（x）在点x0可导，则函数f（x）＝u（x）ν（x）在点x0也可导，且（5-5）（3）若函数ν（x）在点x0可导，c为常数，则（5-6）（4）若函数u（x）和ν（x）在点x0都可导，且ν（x0）≠0，则也可导，且2/127在点x0
圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台（5-7）2．反函数的导数定理设y＝f（x）为x＝φ（y）的反函数，若φ（y）在点y0的某邻域上连续，严格单调且φ’（y0）≠0，则f（x）在点x0（x0＝φ（y0））可导，且（5-8）3．复合函数的导数（1）f（x）在点x0可导的充要条件是：在x0的某邻域U（x0）上，存在一个在点x0
连续的函数H（x），使得从而（2）设u＝φ（x）在点x0可导，y＝f（u）在点u0＝φ（x0）可导，则复合函数在点x0可导，且（5-9）4．基本求导法则与公式（1）基本求导法则①②（c为常数）③3/127圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台④反函数导数⑤复合函数导数（2）基本初等函数导数公式①②③（c为常数）（c为任意实数）④⑤⑥三、参变量函数的导数平面曲线C一般的表达形式是参变量（参量）方程（5-10）表示，设t＝t0对应曲线C上的点P．设φ，ψ在点t0可导，且对应C上的点Q（图5-1），割线PQ的斜率4/127，若圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台曲线C在点P的切线斜率是图5-1其中α为切线与x轴正向的夹角．若φ，ψ在[α，β]上都存在连续的导函数，且这时称C为光滑曲线．其特点是在曲线C上不仅每一点都有切线,且切线与x轴正向的夹角α（t）是t的连续函数．若具有反函数，那么它与构成一个复合函数这时只要函数φ，ψ可导，函数和反函数的求导法则得到（因而当Δx→0时，也有Δt→0和Δy→0），可由复合5/127
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第五章至第六章【圣
