圆锥曲线专题复习讲义(椭圆双曲线抛物线)

圆锥曲线专题复习讲义—椭圆

★知识梳理★

1. 椭圆定义：

（1）第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a(2a?|F2F2|)的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点.

当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为椭圆 ; ; 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹不存在;

当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为 以F1、F2为端点的线段 2.椭圆的方程与几何性质:

标准方程 性 质 焦距 范围 顶点 对称性 离心率 参数关系 焦点 (c,0),(?c,0) x2y2?2?1(a?b?0) 2aby2x2??1(a?b?0) a2b2a2?b2?c2 (0,c),(0,?c) 2c |x|?a,|y|?b |y|?a,|x|?b (?a,0),(a,0),(0,?b),(0,b) (0,?a),(0,a),(?b,0),(b,0) 关于x轴、y轴和原点对称 e?

c?(0,1) a ★热点考点题型探析★

考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用

[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 A．4a

B．2(a－c)

C．2(a+c)

D．以上答案均有可能

y P D C A O B x [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A?C?A,此时小球经过的路程为2(a－c); (2)A?B?D?B?A, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A?P?B?Q?A此时小球经过的路程为4a,故选D

【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】

1.短轴长为5，离心率e?2的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，3则△ABF2的周长为 （ ）

A.3

B.6

C.12

D.24

[解析]C. 长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12

x2y22.已知P为椭圆??1上的一点，M,N分别为圆(x?3)2?y2?1和圆

2516(x?3)2?y2?4上的点，则PM?PN的最小值为（ ）

A． 5 B． 7 C ．13 D． 15

|PC|?|PD|?10，PM?PN的最小值为[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，?10-1-2=7

题型2 求椭圆的标准方程

[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“描述”出来

x2y2x2y2[解析]设椭圆的方程为2?2?1或2?2?1(a?b?0)，

abbab?c??则?a?c?4(2?1)， ?a2?b2?c2?x2y2x2y2??1. ??1或解之得：a?42，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为

32161632【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系．

［警示］易漏焦点在y轴上的情况． 【新题导练】

3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.

x2y22[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则>2，即k<1.

22kk又k>0，∴0

4.已知方程xcos??ysin??1,??(0,?),讨论方程表示的曲线的形状 [解析]当??(0,当??22?4)时，sin??cos?，方程表示焦点在y轴上的椭圆，

?4时，sin??cos?，方程表示圆心在原点的圆，

当??(??,)时，sin??cos?，方程表示焦点在x轴上的椭圆 425. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上

的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.

2??a?c?3x2yx2y2?a?23??[解析] ?，?b?3，所求方程为+=1或+=1.

129129??a?2c?c?3考点2 椭圆的几何性质

题型1:求椭圆的离心率（或范围）

[例3 ] 在△ABC中，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，?A?300,|AB|?2,S?ABC?3．则该椭圆的离心率e? ．

【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] S?ABC?1|AB|?|AC|sinA?3， 2?|AC|?23，|BC|?|AB|2?|AC|2?2|AB|?|AC|cosA?2 e?|AB|23?1 ??|AC|?|BC|23?22【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定

（2）只要列出a、b、c的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3）“焦点三角形”应给予足够关注