第4讲 幂函数与二次函数
基础知识整合
1．幂函数
01y＝xα的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的(1)定义：形如□1
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五类幂函数为y＝x，y＝x，y＝x，y＝x ，y＝x.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数的图象和性质
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1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)＋n(a≠0)． (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”． (2)“ax＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”．
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1．(2018·武汉模拟)如果函数f(x)＝x＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－
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x)，那么( )
A．f(0) 1 解析 由f(1＋x)＝f(－x)知函数f(x)图象的对称轴为x＝，而抛物线的开口向上，2 3 1?5?1?1?1?3?且?0－?＝，?2－?＝，?－2－?＝，根据到对称轴的距离远的函数值较大得f(－2?2?2?2?2?2?2)>f(2)>f(0)．故选A. 2．已知幂函数f(x)的图象经过点?2， ??2? ?，则f(x)为( ) 2? A．偶函数 B．奇函数 C．增函数 D．减函数 答案 D 解析 设幂函数f(x)＝x，∵其图象过点?2， α??2??， 2? 11－－2221α∴2＝＝2 ，解得α＝－，∴f(x)＝x ， 22∴f(x)为减函数．故选D. 3．(2019·河南安阳模拟)已知函数f(x)＝－x＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( ) A．1 B．0 C．－1 D．2 答案 A 解析 ∵f(x)＝－x＋4x＋a＝－(x－2)＋a＋4， ∴函数f(x)＝－x＋4x＋a在[0,1]上单调递增，∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1，故选A. ??11α4．(2018·上海高考)已知α∈?－2，－1，－，，1，2，3?.若幂函数f(x)＝x为奇 22?? 22 2 2 函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________. 答案 －1 解析 ∵幂函数f(x)＝x为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝x在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1. 5．若关于x的不等式x－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为________． 答案 (－∞，－3] 解析 只需要在x∈(0,1]时，(x－4x)min≥m即可．因为函数f(x)＝x－4x在(0,1]上为减函数，所以当x＝1时，(x－4x)min＝1－4＝－3，所以m≤－3. 6．(2019·武汉模拟)方程x＋ax－2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a的取值范围为________． 22 2 2 2 αα?23?答案 ?－，1? ?5? 解析 解法一：由于方程x＋ax－2＝0有解，设它的两个解分别为x1，x2，则x1·x2 ＝－2<0， 故方程x＋ax－2＝0在区间[1,5]上有唯一解． 232 设f(x)＝x＋ax－2，则f(1)·f(5)<0，即(a－1)(5a＋23)≤0，解得－≤a≤1. 5 2 2 4 222 解法二：方程x＋ax－2＝0在区间[1,5]上有根，即方程x＋a－＝0，也即方程a＝－ xxx在区间[1,5]上有根，而函数y＝－x在区间[1,5]上是减函数，所以－≤y≤1，则－ x55 ≤a≤1. 核心考向突破 考向一 幂函数的图象与性质 例1 (1)(2019·九江模拟)幂函数f(x)＝(m－4m＋4)x则m的值为( ) A．1或3 B．1 C．3 D．2 答案 B ??m－4m＋4＝1， 解析 由题意知?2 ?m－6m＋8>0，? 2 2 2 22323 m－6m＋8 在(0，＋∞)上为增函数， 解得m＝1.故选B. 121 ?2?3?1?3?1?3 (2)设a＝?? ，b＝?? ，c＝?? ，则a，b，c的大小关系为( ) ?3??3??3?A．a>c>b C．c>a>b 答案 A 21 12?1?x?1?3?1?3 解析 ∵0<<<1，指数函数y＝??在R上单调递减，故?? 33?3??3??3?111211 3?2?3?1?3?1?3?1?3?2?3 y＝x 在R上单调递增，故?? >?? ，∴?? ?3??3??3??3??3? 触类旁通 幂函数的图象特征 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分的区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2行比较. 即时训练 1.已知幂函数f(x)＝(n＋2n－2)x＋∞)上是减函数，则n的值为( ) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 答案 B 解析 由于f(x)为幂函数，所以n＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．故选B. 2．(2019·昆明模拟)设a＝2，b＝3，c＝7，则a，b，c的大小关系为( ) 5 0.3 0.2 0.1 22 2 B．a>b>c D．b>c>a 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进 n－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，
2020版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第4讲幂函数与二次函数教案（理）（含解析）新人教A版
