2021年北京大学全国优秀中学生暑期学堂数学试题 文科生做前5题，理科生做后5题，每题20分． 1．设关于x的方程sinx+cosx+a=0在实数范围内有解，求实数a的取值范围． 2．设a,b,c均为正数且a,b,c成等差数列，判断2111，， a?bb?cc?a是否成等差数列，并说明理由． 2223．设a,b,c为实数，证明：对任意实数x都有(x?a)+(x?b)?c当且仅当(a?b)?2c． 4．已知复数z1,z2满足z1与z1+z2有相同的模且z1z2?a(1?i)，其中a为非零实数，求z2的z1值． 5．一条直线与双曲线交于A,B两点，与此双曲线的渐近线交于C,D两点，证明：线段AC与BD的长度相等． 226．设α,β均为锐角，满足sinα+sinβ=sin(α+β)，求α+β的值． 7．已知△ABC的面积为1，D,E分别是边AB,AC上的点，F为线段DE上的一点，设AD:AB=x, AE:AC=y, DF:DE=z且y+z?x=1．求△BDF的面积的最大值并求出此时x,y,z的值． 2016年北大全国优秀中学生暑期学堂
数学试题参考答案
21．题中方程有解即a=?sinx?cosx有解，从而有 1?55?a?cosx?cosx?1??cosx????[?,1] 2?44?22
2．由题意知b?a=c?b= (c?a)/2，所以
11c?bb?ac?ac?a2+????? 1c?bb?ab?ab?ca?bc?a(c?a)2
1
从而得111，，是等差数列．
a?bb?cc?a
3．对题中不等式整理得
2x?2(a+b)x+(a+b?c)?0,
此不等式恒成立当且仅当对应判别式
2222
Δ=4(a+b)?8(a+b?c)=4[2c?(a?b)]?0,
2
等价于2c?(a?b)，命题得证．
4．由题意知： 2
2
2
z1?z1z1?z1?z2?(z1?z2)(z1?z2)， 22化简得 z2z2?z2z1?z1z2?0
因为z1z2?a(1?i)，所以z1z2?a(1?i)，代入上面的式子得z2z2?-2a．于是有
z2z2z2?2a????1?i z1z1z2a(1?i) 5．以双曲线的中心为原点，以实轴所在直线为x轴建立直角坐标系，则双曲线与它的渐近线方程可以表示为 x2y2?2?? 2ab其中λ=1时为双曲线，λ=0时为渐近线．
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，则有
?x12y12?2?2?1b?a 22?x2y2??1?2b2?a两式相减得
(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0 22ab
同样有
(x3?x4)(x3?x4)(y3?y4)(y3?y4)??0
a2b2因为A,B,C,D四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时，由双曲线的对称性得AC=BD；
2
当此直线的斜率k存在且不为零时，有
y1?y2y3?y4b2x??2
1?x2x3?x4ak即AB的中点与CD的中点在过原点的同一条直线上，所以它们重合，从而有AC=BD． 事实上，此结论可以直接由双曲线的“垂径定理”得到．
6．显然当α+β=π/2时，等式成立； 由已知条件知
sin2
α+sin2
β=sinαcosβ+cosαsinβ , 整理得
sinα(sinα?cosβ)=sinβ(cosα?sinβ).
若α+β≠π/2，则有sinα?cosβ与cosα?sinβ同号． 若它们同为正，则有
sinα>cosβ=sin(π/2?β),cosα=sin(π/2?α)>sinβ,
从而有
α>π/2?β, π/2?α>β,
无解；
若它们同为负，用类似的方式也可以推导出矛盾． 综上，α+β=π/2．
7．如图，连结BE： 1由三角形的面积公式S=2absinC可以得到 S△ADE=xyS△ABC=xy, S△BCE=(1?y)S△ABC=1?y,
所以有
S△BDE=1?xy?(1?y)=y(1?x).
从而有
S?BDF?zS?BDE?zy(1?x)?(z?y?1?x3)3?827
当y=z=1?x时，即x=1/3,y=z=2/3时等号成立，此时△BDF的面积有最大值8/27
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2021年北大优秀中学生体验营暑期课堂数学试题及详解1
