3山东专升本高等数学第三章微分中值定理与导数的应用
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第三章 微分中值定理与导数的应用
【考试要求】
1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义． 2．熟练掌握洛必达法则求“?Skip Record If...?”、“?Skip Record If...?”、“?Skip Record If...?”、“?Skip Record If...?”、“?Skip Record If...?”、“?Skip Record If...?”和“?Skip Record If...?”型未定式极限的方法．
3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．
4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．
5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．
【考试内容】
一、微分中值定理
1．罗尔定理
如果函数?Skip Record If...?满足下述的三个条件： （1）在闭区间?Skip Record If...?上连续； （2）在开区间?Skip Record If...?内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即?Skip Record If...?，
那么在?Skip Record If...?内至少有一点?Skip Record If...?（?Skip Record If...?），使得?Skip Record If...?．
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说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若?Skip Record If...?，则称点?Skip Record If...?为函数?Skip Record If...?的驻点． 2．拉格朗日中值定理
如果函数?Skip Record If...?满足下述的两个条件： （1）在闭区间?Skip Record If...?上连续； （2）在开区间?Skip Record If...?内可导，
那么在?Skip Record If...?内至少有一点?Skip Record If...?（?Skip Record If...?），使得下式（拉格朗日中值公式）成立：
?Skip Record If...?．
说明：当?Skip Record If...?时，上式的左端为零，右端式?Skip Record If...?不为零，则只能?Skip Record If...?，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理． 3．两个重要推论
（1）如果函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上的导数恒为零，那么?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上是一个常数．
证：在区间?Skip Record If...?上任取两点?Skip Record If...?、?Skip Record If...?（假定?Skip Record If...?，?Skip Record If...?同样可证），应用拉格朗日中值公式可得
?Skip Record If...? （?Skip Record If...?）．
由假定，?Skip Record If...?，所以 ?Skip Record If...?，即 ?Skip Record If...?．
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因为?Skip Record If...?、?Skip Record If...?是?Skip Record If...?上任意两点，所以上式表明?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上的函数值总是相等的，即?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上是一个常数．
（2）如果函数?Skip Record If...?与?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?内的导数恒有?Skip Record If...?，则这两个函数在?Skip Record If...?内至多相差一个常数，即?Skip Record If...?（?Skip Record If...?为常数）．
证：设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，根据上面的推论（1）可得，?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?，故?Skip Record If...?．
二、洛必达法则
1．?Skip Record If...?时“?Skip Record If...?”型未定式的洛必达法则
如果函数?Skip Record If...?及?Skip Record If...?满足下述的三个条件： （1）当?Skip Record If...?时，函数?Skip Record If...?及?Skip Record If...?都趋于零；
（2）在点?Skip Record If...?的某个去心邻域内?Skip Record If...?及?Skip Record If...?都存在且?Skip Record If...?；
（3）?Skip Record If...?存在（或为无穷大）， 那么 ?Skip Record If...?．
说明：这就是说，当?Skip Record If...?存在时，?Skip Record If...?也存在且等于?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?为无穷大时，?Skip Record If...?也是无穷大．
2．?Skip Record If...?时“?Skip Record If...?”型未定式的洛必达法则
如果函数?Skip Record If...?及?Skip Record If...?满足下述的三个条件：
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（1）当?Skip Record If...?时，函数?Skip Record If...?及?Skip Record If...?都趋于零；
（2）当?Skip Record If...?时?Skip Record If...?及?Skip Record If...?都存在且?Skip Record If...?；
（3）?Skip Record If...?存在（或为无穷大）， 那么 ?Skip Record If...?．
说明：我们指出，对于?Skip Record If...?或?Skip Record If...?时的未定式“?Skip Record If...?”，也有相应的洛必达法则．
3．使用洛必达法则求“?Skip Record If...?”型或“?Skip Record If...?”型极限时的注意事项
（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“?Skip Record If...?”型或“?Skip Record If...?”型，如果不是则不能使用洛必达法则．例如：?Skip Record If...?就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故?Skip Record If...?． （2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“?Skip Record If...?”型或“?Skip Record If...?”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推．
（3）洛必达法则是求“?Skip Record If...?”型或“?Skip Record If...?”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求?Skip Record If...?时，可先用?Skip Record If...?进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故 ?Skip Record If...?．
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