线性代数性质公式整
、相关概念
n1?行列
线性代数
第一章行列式
町1
31?
a 22 … di
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阶行列式
?1!| ?
式
ani 鈿.2 at]n
是所有取自不同行不同列的 n个元素
的乘积
的代数和，这里帘汀?是1, 2,?n?的一个排列。当? 前面带正号；当
釦1 al2
是偶排列时，该项的
是奇排列时，该项的前面带负号，即
|
V
这里. 表示对所有n阶排列求和。式（1.1）称为n阶行列式的完全展开式 2. 逆序与逆序数 ——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这 两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用 表示排列 '的逆序数。
3. 偶排列与奇排列一一如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排 列，否则称为奇排列
4.2阶与3阶行列式的展开一
a
忖h
|匚d =ad - he
21 a22 也 3 对1 日32 ^33
=^^22333 + ^12a23^31 + a13a21a32 _ a13a22a31 ~ 312^21^33 _ alla23 a32
日12…
5.余子式与代数余子式——在n阶行列式
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^22 … 屯】】
中划去所在的第i
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甲章■
■1 p III at］n
釘2 …
行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个
an - 日］』1 … … … 1 … a邳Li丰 i - 14 …ai -1J- 1 aai + u …+ i,j -1 i + 1.| +
… *** ***
a^ll,j -1 IIJ +1 2［订 …
n-1阶的行列式
?1 - Ln
+ Im 称为呦的余子式，记为
ii ；称
（-1）2叫为％的代数余子式，记为 Aij ，即A产（-1严叫
6.伴随矩阵一一由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如
A】
】
A12
A21 …
A 22 …A?2
,称为A的伴随矩阵，记作… Alllv
、行列式的性质
1. 经过转置行列式的值不变，即I：lAl'k行列式行的性质与列的性质是对等 的。
2. 两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同 （或两行成比例），行列式 的值为0.
3. 某行如有公因子k,则可把k提出行列式记号外。
4. 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和:
白1 + hj G 6
+ hg aj 4- b弓 口 旳 3 — 引陀 ％ 5 切 5 pH h2 b$ di da d3 + 5 cz c3 |di d2 da 5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变:
pi岂为
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b］帕 b:t
1“巳5 =bt + 斶
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b? + kaj b$ +
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6.代数余子式的性质一一行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积
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