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Banach空间压缩映像原理和不动点原理及
其应用
数学科学学院应数2班
赵宇 2011101020005
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引言
泛函分析是本世纪出才逐渐形成地一个新地数学分支,以其高度地统一性和广泛地应用性,在现代数学领域占有重要地地位.在泛函分析中,Banach空间理论在隐函数定理、微分方程解地存在性定理、积分方程解地存在性定理等等中,否起到了关键地作用,且都归结为一个定理——不动点定理.这正是抽像地结果.b5E2RGbCAP 不动点定理实际上是算子方程Tx=x地求解问题,是分析学地各个分支中存在和唯一性定理地重要基础,它是关于具体问题解地存在唯一性地定理,其中Banach不动点定理,亦称压缩映射原理,它提供了线性方程解地最佳逼近程序,给出了近似解地构造,在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛地应用,在现代数学发展中有着重要地地位和作用.p1EanqFDPw 正文
⒈Banach空间压缩映像定理及其应用
随着现代电子计算机技术地发展,我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）地过程中,大量使用地是逐次逼近地迭代法.几乎可以这样说：对一个方程,只要我们找到一个迭代公式,就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式地收敛性、解地稳定性和收敛速度等问题）.但是,在逐次迭代中,我们必须保证迭代过程中得到地是个收敛序列,否则就是毫无意义地了.而选代法解方程地实质就是寻求变换（映射、映像）地不动点.例如求方程f(x)=0地根,我们可令g(x)=x-f(x),则求f(x)=0地根就变成
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求g(x)地不动点,即求,使.而在通常求映射地不动点地方法中,最简单地就是下面我们所讲地--Banach空间压缩映像定理.DXDiTa9E3d 定义（压缩映像）
设T是度量空间X到X中地映像,如果对都有（是常数）则称T是X上地一个压缩映像.
从几何上说：压缩映像即点x和y经过映像T后,它们地像地距离缩短了（不超过d(x,y)地倍）
定理1（Banach压缩映像原理）1922年 （Banach 1892-1945 波兰数学家） 设（X,d）是一个完备度量空间,T是X上地一个压缩映像,则丅有唯一地不动点.即存在x属于X,使得Tx=x.（证明存略）
RTCrpUDGiT 对于压缩映像原理地应用,最典型地有以下几个定理可说明问题. 定理2（隐函数存在定理） 设u?f(x,y)在带状区域D?{(x,y):a?x?b,???y???}上处处连
fy'(x,y),且如果存在常数
续,处处有关于y地偏导数m,M,适合
0?m?fy'(x,y)?M.则方程f(x,y)?0在闭区间?a,b?上有唯一地连续函数
y??(x),使f(x,?(x))?0.
证：（在C?ab?中考虑映像
T????1f?x,??x??M,若其为压缩映像,则有
不动点T????f?x,??x???0）
在完备度量空间C??ab?中作映像
T????1f?x,??x??M,显然,对
??C?ab?由连续函数地运算性质有
T??C?ab?.
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?T是C?ab?到自身地一个映像
下证是压缩地. 即证
?1,?2?C?ab?d?T?1,T?2???d??1,?2?,??1,?2?C?ab?,0???1,任取
由微分中值定理,存在0???1,使
11f?x,?2?x????1?f?x,?1?x??MM
T?2?T?1??2????2??1??1'fy?x,?1?x?????2?x???1?x?????2??1?M
m???2?x???1?x??1??M???
T?2?T?1???2??1令
??1?mM 则 0???1,故
取最大值 ?d?T?2,T?1???d??2,?1?,0???1
?映像T是压缩地.由Banach压缩映像定理
在C?ab?上有唯一地不动点??x?使 T???
显然这个不动点适合f?x,??x???0
注：① 注意本定理地证明思路：先确定空间,再找映像（这是难点）,然后证明此映像是压缩地,最后利用定理即得.注意到这是利用Banach压缩映像定理解题地一般方法.5PCzVD7HxA ② 此隐函数存在定理给出地条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出地条件,因而得出地结论也强些：此处得出区间上地连续隐函数y???x?.jLBHrnAILg 下面我们介绍Banach不动点定理在常微分方程解地存在唯一性定理中地应用--Picard定理.
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定理3：（Picard定理 Cauchy--Peano微分方程解地存在唯一性定理）
设
f?t,x?在矩形
?t,x?:t?t0?a,x?x0?b?R??上连续,设
f?t,x??M,?t,x??R又f?t,x?在R上关于x満足Lipschitz（德国人
1832--1903）条件,即存在常数k使对??t,x1?,?t,x2??R有
f?t,x1??f?t,x2??kx1?x2,那么方程
dx?f?t,x?dt在区间
00J??t0??,t0???上
有唯一地满足初始条件x?t??x地连续函数解.其中
??mi?na,??b1?,?Mk?xHAQX74J0X 0证：设C?t??对
d?x,y??t0???表示在区间J??t0??,t0???上地连续函数全体.
成完备度量空间.又令C表示C?t??0maxx?t??y?t?t?J~t0???中
~满足条件
~x?t??x0?t??M??t?J?地连续函数全体所成地子空间.显然C闭,因而C也是完备度量空间.
令
Tx?t??x0??f??,x????d?t0~t
?M??b 如果 x?t??C当 t?J时,?t,x?t???R
而 f?t,x?是R上地二元连续函数,?映像中积分有意义. 又对一切
~t?JTx?t??x0?~~?f??,x????d?t0t?Mt?t0?M??b
?Tx?t??C 故T是C到C地一个映像
下证是压缩地.
由Lipschitz条件,对C中地任意两点 x?t?,v?t? 有
Tx,Tv?~??f??,x?????f??,v?????d?
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Banach空间压缩映像原理和不动点原理及其应用
