11、如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是
．
【解析】设⊙O与A′D′相切于点F，连接OF，OE，则OF⊥A′D′，
∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=A′=90°，
由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，∴∠OEA′=∠B=90°， ∵OE=OF，∴四边形A′FOE是正方形，∴A′E=AE=OE=OC，∵BE=AE，设BE=3x，AE=5x， ∴OE=OC=5x，∵BC=AD=4，∴OB=4﹣5x，在RtBOE中，OE2=BE2+OB2， ∴（5x）2=（3x）2+（4﹣5x）2，解得：x=，x=4（舍去），∴AB=8x=
．故答案为：
．
12、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作⊙O，将△ADE折
叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD= 2 ，⊙O半径=
．
【解析】作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，
∵△ADE折叠至△A′DE，∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，∴DA′与⊙O相切，
在△ODA′和△OCF中，∴△DOA′≌△FOC．∴DA′=CF=x，
∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，∴H点为切点，∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，
在Rt△DCG中，∵DC2+CG2=DG2，∴（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2， ∴AD=2，设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x﹣r=4﹣r，
在Rt△DOA′中，∵DA′2+OA′2=DO2，∴22+r2=（4﹣r）2，解得r=，即⊙O的半径为．
13、长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处． （1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为 18 °． （2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=54°，∴∠DAC=90°﹣54°=36°，
由折叠的性质得：∠DAE=∠FAE，∴∠DAE=∠DAC=18°；故答案为：18；
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，
由折叠性质：AF=AD=10，EF=ED，∴BF=
=
=8，∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2，
设CE=x，则EF=ED=6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6﹣x）2，x=，即CE的长为；
（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，
由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C， 在Rt△CEG和△FEG中，
，∴Rt△CEG≌△FEG（HL），∴CG=FG，设CG=FG=y，
则AG=AF+FG=10+y，BG=BC﹣CG=10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的长为．
模块三 矩形折叠问题中的类比问题
【典例】如图例2-1，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形
ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求
AD的值； AB（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求
AD的值． ABA E D F
G
B C
图例2-1 图例2-2
【解析】（1）同意，理由如下：如图例2-2，连接EF ，∵E是AD的中点，∴AE=ED
由折叠及矩形性质得：AE=EG，∠EGF=∠D=90°，所以，EG=DE
在Rt△EFG和Rt△EFD中，∵EF=EF EG=DE，∴Rt△EFG≌Rt△EFD （HL），∴DF=FG （2）根据DC=2DF，设DF=FC=x，AE=ED=y ，由折叠性质及（1）知BF=BG+GF=AB+GF=3x 在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF=BC+CF ，(3x)=(2y)+x ，即：y?2
2
2
2
2
2
2x，
∴
（3）设AE=ED=y，DF=x，根据DC=nDF，得CD=nx，FC=(n－1)x；
由折叠性质及矩形性质知：BF=BG+GF=AB+GF=(n+1)x 在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF=BC+CF
2
2
2
[(n+1)x]=(2y)+[(n-1)x] ，即：
222
，∴
1、如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则
AD的值为 DF
A．
11 13B．
13 15C．
15 17D．
17 19【解析】根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．
??EOF??BOP?在△OEF和△OBP中，∵??B??E?90?，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．
?OP?OF?设EF=x，则BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x．又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x， ∴AF=AB﹣BF=1+x．在Rt△DAF中，AF+AD=DF，即（1+x）+3=（4﹣x），解得：x=0.6， ∴DF=4﹣x=3.4，∴
2
2
2
2
2
2
AD15?．故选C． DF17 2、如图，以矩形ABOD的两边OD、OB为坐标轴建立直角坐标系，若E是AD的中点，将△ABE沿BE折
叠后得到△GBE，延长BG交OD于F点．若OF＝1，FD＝2，则G点的坐标为
【解析】连结EF，作GH⊥x轴于H，如图，∵四边形ABOD为矩形，∴AB=OD=OF+FD=1+2=3．
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴BA=BG=3，EA=EG，∠BGE=∠A=90°． ∵点E为AD的中点，∴AE=DE，∴GE=DE．
?ED?EG在Rt△DEF和Rt△GEF中，∵?，∴Rt△DEF≌Rt△GEF（HL），∴FD=FG=2
EF?EF?∴BF=BG+GF=3+2=5．在Rt△OBF中，OF=1，BF=5，∴OB?BF2?OF2?26．
∵GH∥OB，∴△FGH∽△FBO，∴
GHFHFG??， OBOFFB即GHFH223246??，∴GH?46，FH?，∴OH=OF﹣HF=1??，∴G点坐标为（3，）
15555265553、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是边AB上一点，且AE=2EB，点P是边BC上一点，连接EP，过点P作PQ⊥PE交射线CD于点Q．若点C关于直线PQ的对称点正好落在边AD上，求BP的值．
【解析】过点P作PE⊥AD于点E，∴∠PEC'=90°
∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴∠EAB=∠B=∠C=∠QDC'=90°，CD=AB=3，
∴四边形CPED是矩形，∴DE=PC，PE=CD=3∵AE=2EB，∴AE=2，EB=1，设BP=x，则DE=PC=4﹣x
∵点C与C'关于直线PQ对称，∴△PC'Q≌△PCQ，∴PC'=PC=4﹣x，C'Q=CQ，∠PC'Q=∠C=90°
∵PE⊥PQ，∴∠BPE+∠CPQ=90°，又∵∠BEP+∠BPE=90°，∴∠BEP=∠CPQ，∴△BEP∽△
初中数学难点突破几何变换之图形折叠问题
