初中几何变换知折叠问题
模块一 正方形的折叠
1、如图，将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD.则下列结论中：△△ADF是等边三角形；△tan△EBF＝2－√3；△S△ADF＝3S正方形ABCD；△BF2＝DF·EF.其中正确的是( )
1
A. △△△ B．△△△ C．△△△ D．△△△
【解析】△四边形ABCD是正方形，△AB=CD=AD，△C=△BAD=△ADC=90°，△ABD=△ADB=45°，
由折叠性质：MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，△FDE=△CDE，△DFE=△C=90°，DEF=△DEC，
△FD=FA，△AD=FD=FA，即△ADF是等边三角形，△正确；设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，△△ADF是等边三角形，△△DAF=△AFD=△ADF=60°，FA=AD=4a，M=√3AM=2√3a， △FN=MN-FM=（4-2√3）a，△tan△EBF=????=
12
12
????
4?2√3=2-√3，△正确； 2
△△ADF的面积=AD?FM=×4a×2√3a=4√3a2，正方形ABCD的面积=（4a）2=16a2，
??????????
正方形????????
△??
=
4√316
=
√3，△错误；△AF=AB，△BAF=90°-60°=30°，△△AFB=△ABF=75°， 4
△△DBF=75°-45°=30°，△BFE=360°-90°-60°-75°=135°=△DFB，
△△BEF=180°-75°-75°=30°=△DBF，△△BEF△△DBF，△????＝????，△BF2=DF?EF，△正确；选B． 【小结】本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形
????
????
的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键．
2、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，BE=3，Q是CD上一动点，将△CEQ沿直线
EQ折叠后，点C落在点P处，连接PA．点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，当PA的长度最小时，CQ的长为（ ）
A．33?3 B．3?3
C．
3 2D．3
【解析】：如图所示：在Rt△ABE中，AE=．
△BC=3，BE=，△EC=3-．由翻折的性质可知：PE=CE=3-．
△AP+PE≥AE，△AP≥AE-PE．△当点A、P、E一条直线上时，AP有最小值． △AP=AE-PE=2
-（3-）=3
-3．故选A．
3、如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE?3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把?EBF沿EF折叠，点B落在B'处，若?CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为______.
【解析】需分三种情况讨论：（1）若DB'?DC，则DB'?16（易知此时点F在BC上且不与点C、B重合）；（2）若CB'?CD，因为EB?EB'，CB?CB'，所以点E、C在BB'的垂直平分线上，则EC垂直平分BB'，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，则这种情况不成立；（3）
如图，若CB'?DB'，作B'G?AB与AB交于点G，交CD于点H.因为AB∥CD，所以
1B'H?CD.因为CB'?DB'，所以DH?CD?8，所以AG?DH?8，则
2GE?AG?AE?5，因为B'E?BE?13.在Rt?B'EG中，由勾股定理求得B'G?12，所以
B'H?GH?B'G?4.在Rt?B'DH中，由勾股定理求得DB'?45.综上，DB'?16或45.
【小结】本题考查折叠性质和勾股定理，本题关键在于能够对等腰三角形的情况进行分类讨论
4、如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N （1）若CM=x，则CH= （用含x的代数式表示）；（2）求折痕GH的长．
解析（1）△CM=x，BC=6，△设HC=y，则BH=HM=6﹣y，
故y2+x2=（6﹣y）2，整理得：y=﹣△△EDM△△MCH，△x2+2x；
（2）△四边形ABCD为正方形，△△B=△C=△D=90°，
=
，△=
x2+3，△△HMC+△MHC=90°，△△EMD=△MHC， ，得：HC=﹣x2+2x，答案：﹣
x2+3或﹣
设CM=x，由题意可得：ED=3，DM=6﹣x，△EMH=△B=90°，故△HMC+△EMD=90°， △△HMC+△MHC=90°，△△EMD=△MHC，△△EDM△△MCH， △
=
，即=
，解得：x1=2，x2=6，
当x=2时，△CM=2，△DM=4，△在Rt△DEM中，由勾股定理得：EM=5，△NE=MN﹣EM=6﹣5=1，
△△NEG=△DEM，△N=△D，△△NEG△△DEM，△
=
，△=
，解得：NG=，
由翻折变换的性质，得AG=NG=，过点G作GP△BC，垂足为P，则BP=AG=，GP=AB=6， 当x=2时，CH=﹣
x2+3=，△PH=BC﹣HC﹣BP=6﹣﹣=2，
初中数学难点突破几何变换之图形折叠问题
