2024年
【2024最新】精选高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量
的数量积及应用增分练
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2024·许昌模拟]设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，
且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A. B. C．2 D．10
答案 B
解析 由a⊥c，得a·c＝2x－4＝0，解得x＝2.由b∥c，得＝，解得y＝－2.所
以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝.故选B.
2．[2015·广东高考]在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，
＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 A
解析 ＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以·＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋
1×(－1)＝5.故选A.
3．[2016·全国卷Ⅲ]已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
答案 A
解析 cos∠ABC＝＝，所以∠ABC＝30°.故选A.
4．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b
的夹角的取值范围是( )
? B.??3，π? ??? D.??6，π? ??
ππ
A. C. 答案 B
解析 由于|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0，即a·b≤|a|2.设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝≤＝，∴θ∈.故
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选B.
5．在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·＝( )
A．18 B．3 C．15 D．12
答案 A
解析 由题意可得△ABC是等腰直角三角形，AB＝3，＝，故·＝(＋)·＝2＋·＝
9＋(－)·＝9＋2－·＝9＋9－0＝18.故选A.
6．[2024·济宁模拟]平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD
是( )
B．正方形 D．梯形
A．矩形 C．菱形 答案 C
解析 因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝
0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．故选C.
7．[2024·重庆模拟]已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a
与b的夹角为( ) A. B. C. D.
5π
6
答案 C
解析 ∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝.故选C.
8．[2024·南宁模拟]已知平面向量α，β，且|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，
则|2α＋β|＝________.
答案
10
解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，所以α·β＝， 所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×＝10，所以|2α＋β|＝.9．[2024·北京东城检测]已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－
(a·b)b，则|c|＝________.
答案 8
2
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解析 由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，
∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝＝8. 10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则·＝________.
答案 －2
解析 利用向量的加减法法则可知
→5
·＝(＋)·(－＋)＝(－2＋2)＝－.AD
[B级 知能提升]
1．[2024·石家庄模拟]在△ABC中，AB＝4，AC＝3，·＝1，则BC＝( )
A. B. C．2 D．3
答案 D
解析 设∠A＝θ，
因为＝－，AB＝4，AC＝3， 所以·＝2－·＝9－·＝1.
→
·＝8.cosθ＝＝＝，AC 所以BC＝＝3.故选D.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0,2)．若·＝0，＝λ，则
实数λ的值为________．
答案 2
解析 由已知得＝(－3,3)，设C(x，y)，
则·＝－3x＋3y＝0，所以x＝y.
→
＝(x－3，y＋1)．AC
又＝λ，即(x－3，y＋1)＝λ(0,2)， 所以由x＝y得，y＝3，所以λ＝2.
3．[2024·东营模拟]若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量
a＋b与a的夹角为________．
答案
π3
解析 由|a＋b|＝|a－b|，得
a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，
2024高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用增分练
