第10章 教学方案
——应力状态和强度理论
基 本 内 容 教 学 目 的 重 点 、 难 点 应力状态概述 二向应力状态分析的解析法 三向应力状态 强度理论概述 四种常用的强度理论 强度理论的应用 1、了解应力状态分析的原因和一点应力状态的概念，掌握用微元描述一点应力状态。 2、掌握平面应力状态中斜面上的正应力、切应力计算，熟练掌握主应力、主方向的确定及最大切应力的计算。 3、了解广义胡克定律。 4、了解强度理论的概念。 5、掌握四种常用的强度理论 6、了解四种强度理论应用条件。 一点应力状态的概念及描述；强度理论的概念及应用。
第10章 应力状态和强度理论
10.1 应力状态概述
10.1.1 问题的提出
工程中有许多构件，其危险截面上的危险点同时承受正应力和切应力，这种受力状态称为复杂应力状态。由于复杂应力状态变化繁多，在强度计算时不可能一一通过实验确定失效时的极限应力。因此必须研究复杂应力状态的应力在各个方向的变化规律，为失效原因分析提供基础。
10.1.2 应力状态的概念
受力构件内某一点处，各个不同方位截面上的应力及其关系称为一点的应力状态。为了研究一点的应力状态，可围绕该点取单元体。因为单元体的尺寸非常微小，可以认为各个面上的应力均匀分布，相对的两个面上的应力情况完全相同。构件上一点的应力状态，可由围绕该点的单元体各面上的应力情况表示。换句话说，单元体的受力就代表该点的应力状态。
10.1.3 单元体的取法
通常用应力已知的截面来截取单元体。例如在图10.1（a）所示的轴向拉伸构件中，为了分析A点的应力状态，围绕A点用横截面和纵向截面截取出单元体研究，A点单元体受力如图所示。在图10.1（b）所示的扭转圆轴中，为了分析表面上C点的应力状态，围绕C点用左右两个横截面、上下两个纵向截面和平行表面的一个纵向截面截取出单元体研究，C点单元体受力如图所示。在图10.1（c）所示的矩形截面悬臂梁上，若研究m-m截面上A、B、C三点的应力状态，围绕三点分别用横截面和纵向截面截取出单元体研究。横截面上的应力分布如图，大小可由弯曲应力计算公式确定。A点在梁横截面的最上端，横截面方向只受正应力作用，其单元体受力如图示；B点在中性轴上，横截面上只受切应力作用，根据该截面上剪力的方向，可确定切应力的方向如图，其单元体受力如图示；同理可确定C点的单元体受力如图示。
图10.1
取出单元体，确定其受力后，应用截面法和静力平衡条件就可求出单元体其它截面方向上的应力。
10.1.4 主应力和主平面
围绕构件内一点截取不同方向的单元体，则各个截面上的受力也各不相同。若某一截面上的无切应力，则称这种切应力为零的面为主平面。主平面上的正应力称为主应力。一般来说，受力构件的任意点上总存在三个互相垂直的主平面，也有三个主应力。三个主应力从大到小排列分别用σ1、σ2、σ3表示。若三个主应力中只有一个不等于零，称为单向应力状态，图10.1中的A点就是单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，称为二向或平面应力状态，图10.1中的B、C点就是二向应力状态。若三个主应力都不等于零，称为三向或空间应力状态。单向应力状态也称为简单应力状态，二向和三向应力状态也统称为复杂应力状态。
10.2 二向应力状态分析的解析法
10.2.1 二向应力状态下斜截面的应力
二向应力状态是最常见的一种应力情况。图10.2所示的单元体为二向应力状态的最一般的受力情况。建立图示坐标系，坐标轴x、y、z分别是单元体三个互相垂直平面的法线，对应的面分别称为x面、y面、z面，其上的应力加该面的名称作为下标，如σx、τy等。为了确定任意斜截面上的应力，需首先对单元体上的各应力正负号作如下约定：
? 正应力：拉应力为正，压应力为负。
? 切应力：使单元体顺时针旋转的切应力为正，反之为负。 按照上述约定，图10.2中各应力σx、σy和τx为正，τy为负。 用垂直于z面、与x面夹角为α的斜截面将单元体假想地截开，如图10.3（a）。由于所有应力作用线均平行于z平面，将单元体受力图投影简化为图10.3（b）形式，x、y面和斜截面用投影的线段表示。取出楔形体ABC 研究，斜截面上的应力σα、τα按正向假设标出，如图10.3（c）所示。若设斜截面的面积为dA，则侧面AB和底面AC的面积分别为 dAcosα和dAsinα。则楔形体ABC的受力图如图10.3（d）图10.2 所示。
图10.3 列斜截面法向n和切向t的投影平衡方程，有
?F?Fn?0,??dA?(?xdAcos?)cos??(?xdAcos?)sin??(?ydAsin?)sin??(?ydAsin?)cos??0?0,??dA?(?xdAcos?)sin??(?xdAcos?)cos??(?ydAsin?)cos??(?ydAsin?)sin??0
t注意到τx和τy数值上相等，都用τx表示，利用三角公式，上面两式简化为
????x??y2??x??y2cos2???xsin2? （10-1）
????x??y2sin2???xcos2? （10-2）
以上公式就是计算二向应力状态下任意斜截面上应力的公式。这里α是指斜截面与x截面的夹角，即两截面外法线正向x和n间的夹角。规定由x轴正向转到法线n正向，若为逆时针转向，α为正；顺时针转向，α为负。在应用以上公式时，应注意正确地选取各量的符号。还应注意到，公式中的斜截面仅是指垂直于z面的斜截面，并不能求解任意斜截面上的应力。
10.2.2 主应力和主平面方位
斜截面上的应力是随α角的改变而变化的。利用以上公式就可进一步确定正应力和切应力的极值和所在位置。
将公式（10-1）对α求导数并令其为零，得
??x??y?d????2?sin2???xcos2???0 d??2?与（10-2）式比较，可见在正应力的极值作用截面上，切应力为零。根据主应力和主平面的定义，正
应力的极值就是主应力，其作用面就是主平面。以α0表示主平面方位，则由上式解得主平面方位 tan2?0??2?x （10-3）
?x??y 从上式可求出相差900的两个α0角。加上主平面z面，构成互相垂直的三个主平面，形成由主平面组成的主应力单元体。由（10-3）式求出sin2α0和cos2α0，代入（10-1）式，得主应力为
?max??x??y??x??y??????min?22?10.2.3 最大切应力
?2???x （10-4） ??2将公式（10-2）对α求导数并令其为零，解得切应力的极值作用平面方位（用α1表示）为
?x??y （10-5） tan2?1?2?x从上式也可求出相差900的两个α1角。比较（10-3）式与（10-5）式可得
?1??0?450
即切应力的极值作用平面与主平面成450角。由（10-5）式求出sin2α1和cos2α1，代入（10-2）式，
得切应力的最大和最小值为
?max?????min???x??y??2??2? （10-6） ??x??2 【例10-1】单元体受力如图10.4（a）所示（应力单位：MPa）。试求：（1）指定斜截面上的应力；（2）主应力和主平面方位；（3）最大切应力。
图10.4
解：（1）计算斜截面的应力
建立图10.4（a）所示坐标轴，根据符号规定有：σx=60MPa，σy=-80MPa，τx=35MPa，α=600。将上述数据代入（10-1）和（10-2）式，可得
?60?0?60060?8060?80?cos1200?35sin1200??75.3MPa 2260?80?sin1200?35cos1200?43.1MPa
2（2）计算主应力和主平面方位 由（10-3）式得
tan2?0??解得
2?35??0.5
60?80??76.70 ?0??13.30,?0?值代入（10-1）式，得 为了确定对应主平面上的主应力值，分别将?0和?060?8060?8000?cos(?26.6)?35sin(?26.6)?68.3MPa 02260?8060?80??cos153.40?35sin153.40??88.3MPa
22??????0若按主应力排列，则?1?68.3MPa,?2?0,?3??88.3MPa。主应力单元体如图10.4（b）所示。
（3）最大切应力
由（10-6）式得
2?max??60?80?2??35??78.3MPa ?????min??2????58.3。其单元体如图10.4（c）所示。 其作用面方位由?1??0?45得：?1?31.7和?1000
工程力学课程第10章
