第10章 教学方案
——应力状态和强度理论
基 本 内 容 教 学 目 的 重 点 、 难 点 应力状态概述 二向应力状态分析的解析法 三向应力状态 强度理论概述 四种常用的强度理论 强度理论的应用 1、了解应力状态分析的原因和一点应力状态的概念,掌握用微元描述一点应力状态。 2、掌握平面应力状态中斜面上的正应力、切应力计算,熟练掌握主应力、主方向的确定及最大切应力的计算。 3、了解广义胡克定律。 4、了解强度理论的概念。 5、掌握四种常用的强度理论 6、了解四种强度理论应用条件。 一点应力状态的概念及描述;强度理论的概念及应用。
第10章 应力状态和强度理论
10.1 应力状态概述
10.1.1 问题的提出
工程中有许多构件,其危险截面上的危险点同时承受正应力和切应力,这种受力状态称为复杂应力状态。由于复杂应力状态变化繁多,在强度计算时不可能一一通过实验确定失效时的极限应力。因此必须研究复杂应力状态的应力在各个方向的变化规律,为失效原因分析提供基础。
10.1.2 应力状态的概念
受力构件内某一点处,各个不同方位截面上的应力及其关系称为一点的应力状态。为了研究一点的应力状态,可围绕该点取单元体。因为单元体的尺寸非常微小,可以认为各个面上的应力均匀分布,相对的两个面上的应力情况完全相同。构件上一点的应力状态,可由围绕该点的单元体各面上的应力情况表示。换句话说,单元体的受力就代表该点的应力状态。
10.1.3 单元体的取法
通常用应力已知的截面来截取单元体。例如在图10.1(a)所示的轴向拉伸构件中,为了分析A点的应力状态,围绕A点用横截面和纵向截面截取出单元体研究,A点单元体受力如图所示。在图10.1(b)所示的扭转圆轴中,为了分析表面上C点的应力状态,围绕C点用左右两个横截面、上下两个纵向截面和平行表面的一个纵向截面截取出单元体研究,C点单元体受力如图所示。在图10.1(c)所示的矩形截面悬臂梁上,若研究m-m截面上A、B、C三点的应力状态,围绕三点分别用横截面和纵向截面截取出单元体研究。横截面上的应力分布如图,大小可由弯曲应力计算公式确定。A点在梁横截面的最上端,横截面方向只受正应力作用,其单元体受力如图示;B点在中性轴上,横截面上只受切应力作用,根据该截面上剪力的方向,可确定切应力的方向如图,其单元体受力如图示;同理可确定C点的单元体受力如图示。
图10.1
取出单元体,确定其受力后,应用截面法和静力平衡条件就可求出单元体其它截面方向上的应力。
10.1.4 主应力和主平面
围绕构件内一点截取不同方向的单元体,则各个截面上的受力也各不相同。若某一截面上的无切应力,则称这种切应力为零的面为主平面。主平面上的正应力称为主应力。一般来说,受力构件的任意点上总存在三个互相垂直的主平面,也有三个主应力。三个主应力从大到小排列分别用σ1、σ2、σ3表示。若三个主应力中只有一个不等于零,称为单向应力状态,图10.1中的A点就是单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零,称为二向或平面应力状态,图10.1中的B、C点就是二向应力状态。若三个主应力都不等于零,称为三向或空间应力状态。单向应力状态也称为简单应力状态,二向和三向应力状态也统称为复杂应力状态。
10.2 二向应力状态分析的解析法
10.2.1 二向应力状态下斜截面的应力
二向应力状态是最常见的一种应力情况。图10.2所示的单元体为二向应力状态的最一般的受力情况。建立图示坐标系,坐标轴x、y、z分别是单元体三个互相垂直平面的法线,对应的面分别称为x面、y面、z面,其上的应力加该面的名称作为下标,如σx、τy等。为了确定任意斜截面上的应力,需首先对单元体上的各应力正负号作如下约定:
? 正应力:拉应力为正,压应力为负。
? 切应力:使单元体顺时针旋转的切应力为正,反之为负。 按照上述约定,图10.2中各应力σx、σy和τx为正,τy为负。 用垂直于z面、与x面夹角为α的斜截面将单元体假想地截开,如图10.3(a)。由于所有应力作用线均平行于z平面,将单元体受力图投影简化为图10.3(b)形式,x、y面和斜截面用投影的线段表示。取出楔形体ABC 研究,斜截面上的应力σα、τα按正向假设标出,如图10.3(c)所示。若设斜截面的面积为dA,则侧面AB和底面AC的面积分别为 dAcosα和dAsinα。则楔形体ABC的受力图如图10.3(d)图10.2 所示。
图10.3 列斜截面法向n和切向t的投影平衡方程,有
?F?Fn?0,??dA?(?xdAcos?)cos??(?xdAcos?)sin??(?ydAsin?)sin??(?ydAsin?)cos??0?0,??dA?(?xdAcos?)sin??(?xdAcos?)cos??(?ydAsin?)cos??(?ydAsin?)sin??0
t注意到τx和τy数值上相等,都用τx表示,利用三角公式,上面两式简化为
????x??y2??x??y2cos2???xsin2? (10-1)
????x??y2sin2???xcos2? (10-2)
以上公式就是计算二向应力状态下任意斜截面上应力的公式。这里α是指斜截面与x截面的夹角,即两截面外法线正向x和n间的夹角。规定由x轴正向转到法线n正向,若为逆时针转向,α为正;顺时针转向,α为负。在应用以上公式时,应注意正确地选取各量的符号。还应注意到,公式中的斜截面仅是指垂直于z面的斜截面,并不能求解任意斜截面上的应力。
10.2.2 主应力和主平面方位
斜截面上的应力是随α角的改变而变化的。利用以上公式就可进一步确定正应力和切应力的极值和所在位置。
将公式(10-1)对α求导数并令其为零,得
??x??y?d????2?sin2???xcos2???0 d??2?与(10-2)式比较,可见在正应力的极值作用截面上,切应力为零。根据主应力和主平面的定义,正
应力的极值就是主应力,其作用面就是主平面。以α0表示主平面方位,则由上式解得主平面方位 tan2?0??2?x (10-3)
?x??y 从上式可求出相差900的两个α0角。加上主平面z面,构成互相垂直的三个主平面,形成由主平面组成的主应力单元体。由(10-3)式求出sin2α0和cos2α0,代入(10-1)式,得主应力为
?max??x??y??x??y??????min?22?10.2.3 最大切应力
?2???x (10-4) ??2将公式(10-2)对α求导数并令其为零,解得切应力的极值作用平面方位(用α1表示)为
?x??y (10-5) tan2?1?2?x从上式也可求出相差900的两个α1角。比较(10-3)式与(10-5)式可得
?1??0?450
即切应力的极值作用平面与主平面成450角。由(10-5)式求出sin2α1和cos2α1,代入(10-2)式,
得切应力的最大和最小值为
?max?????min???x??y??2??2? (10-6) ??x??2 【例10-1】单元体受力如图10.4(a)所示(应力单位:MPa)。试求:(1)指定斜截面上的应力;(2)主应力和主平面方位;(3)最大切应力。
图10.4
解:(1)计算斜截面的应力
建立图10.4(a)所示坐标轴,根据符号规定有:σx=60MPa,σy=-80MPa,τx=35MPa,α=600。将上述数据代入(10-1)和(10-2)式,可得
?60?0?60060?8060?80?cos1200?35sin1200??75.3MPa 2260?80?sin1200?35cos1200?43.1MPa
2(2)计算主应力和主平面方位 由(10-3)式得
tan2?0??解得
2?35??0.5
60?80??76.70 ?0??13.30,?0?值代入(10-1)式,得 为了确定对应主平面上的主应力值,分别将?0和?060?8060?8000?cos(?26.6)?35sin(?26.6)?68.3MPa 02260?8060?80??cos153.40?35sin153.40??88.3MPa
22??????0若按主应力排列,则?1?68.3MPa,?2?0,?3??88.3MPa。主应力单元体如图10.4(b)所示。
(3)最大切应力
由(10-6)式得
2?max??60?80?2??35??78.3MPa ?????min??2????58.3。其单元体如图10.4(c)所示。 其作用面方位由?1??0?45得:?1?31.7和?1000
工程力学课程第10章
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)