第4讲 二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如y＝x(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常1
－1
见的五类幂函数为y＝x，y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x.
2
3
α(2)图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 2
2
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 值域 单调性 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) ?4ac－b，＋∞? ?4a???在?－∞，－?上单调递减； 2a??2?－∞，4ac－b? ?4a???在?－∞，－?上单调递增； 2a??2?b??b? 1
??在?－，＋∞?上单调递增 ?2a?对称性 b在?－，＋∞?上单调递减 ?2a??b?函数的图象关于x＝－对称 2a
b[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1
(1)函数y＝2x2是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (3)当n<0时，幂函数y＝x是定义域上的减函数．( )
4ac－b(4)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( )
4a2
2
n(5)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( )
(6)在y＝ax＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]
1.(必修1P77图象改编)如图是①y＝x；②y＝x；③y＝x在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为________．
解析：根据幂函数的性质可知a<0，b>1，0 2．(必修1P39B组T1改编)函数g(x)＝x－2x(x∈[0，3])的值域为________． 解析：由g(x)＝x－2x＝(x－1)－1，x∈[0，3]，得g(x) 在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数． 所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3. 所以g(x)的值域为[－1，3]． 答案：[－1，3] [易错纠偏] (1)二次函数图象特征把握不准； (2)二次函数的单调性规律掌握不到位； (3)幂函数的图象掌握不到位． 1．如图，若a<0，b>0，则函数y＝ax＋bx的大致图象是________(填序号)． 2 2 2 2 2 2 abc 2 解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a<0，b>0，所以二次函数图象的对称为x＝－>0，故③正确． 2a答案：③ 2．若函数y＝mx＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________． 解析：因为函数y＝mx＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数， 2 2 bm<0??1所以?1，即m≤－. 6－≤3??2m1??答案：?－∞，－? 6?? 3．当x∈(0，1)时，函数y＝x的图象在直线y＝x的上方，则m的取值范围是________． 答案：(－∞，1) 幂函数的图象及性质 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( ) m 11 (2)若(a＋1)2<(3－2a)2，则实数a的取值范围是________． 【解析】 (1)设幂函数的解析式为y＝x， 因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)， 1α所以2＝4，解得α＝. 2 所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数， 当0 αa＋1≥0，?1? (2)易知函数y＝x2的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以?3－2a≥0，解 ??a＋1<3－2a， 3
浙江专用2021版新高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数4第4讲二次函数与幂函数教学案
