应用数学习题集
第二章导数及其应用
.选择题
1．若f(x)在x0处可导，则以下结论错误的是（
D ）。
A f(x)在x0处有极限；B f(x)在x0处连续；C f(x)在x0处可微；D
f'(x)
x
limx
f(x)必成立。
2．若f(x)在x0处可导，则（
B ）是错误的。(02-03
电大试题)
A 函数f(x)在点x0处有定义；B
xlimx
f(x)A，但A
f(x0)；
0
C 函数f(x)在x0处连续；D 函数f(x)在x0处可微。
3．f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处（
A ）
A 必不可导；B 有时可导；C 必无定义；
D 必无极限。
4．函数f(x)=|2x|在x=0处的导数（D
）。
A 等于0；
B 等于2；
C 等于-2；
D 不存在。
5．函数f(x)=|sinx|在点x=0处的导数（
D
）。
A 等于-1；B 等于0；
C 等于1 ；D 不存在。
6．y
ln|x|，则y’=（B ）。
A 1|x；B
1|
x
；C
1x
；D
1|x|
。
7．曲线y=sinx在点(0,0)处的切线方程是（
C ）。A y=2x B y
12
x
C y=x
D y=-x
8．f(x)
xcosx，则f\(x)=（
D
）。(02-03
电大试题)
A cosx+xsinx B cosx-xsinx C 2sinx+xcosx
D -2sinx-xcosx 9．函数中在[1，e]上满足Lagrange定理条件的函数是（B ）。A y=ln(lnx)
；
B y=lnx
；
C y=
1lnx
；
D y=ln(2-x)
。
10．若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，Lagrange
定理的结论是至少存在一点
，使（
A ）。
一ξA f'()C f(b)11．f'(x0)
f(b)bf(a)
f(a)a
；
B f'()
；
f'()(ba)；
D f'()
f(b)f(a)
。
0，则x0是函数f(x)的（
B.最大值点；
D ）。(02-03C.极小值点；
电大试题) D.驻点。
A.极大值点；12．x0是连续函数
A 必有f'(x0)C f'(x0)13．y=arctane
A
f(x)在(a,b)内的极小值点，则（0；
C ）。
B f'(x0)必不存在；D x∈(a,b)时，必有f(x)
0或f'(x0)不存在；
x
f(x0)。
，则dy=（
B
C ）。；
C
e
x2x
1e
；
11
2
edx1
e
2x
x
e
2x
；D
dx1e
2x
。
14．设f(x)A 1-sinx
2
x
cosx，则f'(x)=（
B 1+sinx
2
C ）。
2
；；C 1-sinxB ）。
·2x；D (1-sinx
2
)·2x。
15．设f(t)
tt
2
1
，则f'(t)=（
A
12t
；B
t(t
2
11)
2
2
；C
3t(t
2
2
11)
2
；D
tt
22
11
。
16．lim
x
a
x
xa
a
a
x
(a
0)的值是（D ）。
A 0；B 1；C ∞；
D a(lna
a
1)。
D ）必成立。
17．若x1与x2分别是函数A
f(x)在(a,b)内的一个极大点和一个极小点，则（
B
f(x1)f(x2)；
(x)
f'(x1)f'(x2)0；
C 对x∈(a,b)，f
f(x1)，f(x)
f(x2)；D f'(x1)、f'(x2)可能为0，也可能不存在。
D ）。
18 若lim
x
f(x)(x
f(x0)x0)
2
x0
1，则f(x0)一定是f(x)的（
C 最小值；
A 最大值；B 极小值；D 极大值。
二.填空题：
1．已知f(x)=lnx，则lim
x
ln(x
0
x)x
lnx
=
1x
。
2．若函数yln3，则y’= 0 。
3．曲线y=x
3
+4在点(0,4)
2
处的切线平行于x轴。
45°。
4．抛物线y=x
在点(1/2,1/4) 处的切线的倾斜角是
5．已知f(x)=x·sinx，则f\()= 2 。
6．方程e
xy
xy所确定的隐函数的导数
dydx
0
=
yx
。
7．若函数f(x)在x=0处可微，则limf(x)=f(0)。
x
8．dln(sinx)=9．dln(cosx)=10．d(sine)
x
cotxdx。tanxdx。
ecosedx。
x，应用微分方法求出△
S≈S’(x)△x 。
x
x
11．半径为x的金属圆片，面积为S(x)。加热后半径伸长了△12．lim
x
lnxe
x
0 。
2
13．函数y=arctan(x14．函数y=ln(2x15．函数y=sinx-x
4
+1)的递增区间是(0,)。
+8)的递减区间是(在其定义域内的单调性是
,0)。
单调减少
。
x0处可导，则
16．极值存在的必要条件：如果
f(x)在点x0处取得极值且在点f(x)0。
17．若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内f'(x)18．设函数y
0，则函数的最小值为f(b)。
f(x)二阶可导，若
f'(x0)C(q)x)
0、f\(x0)80f(x)
0，则f(x0)是f(x)的极大值。
50时，该产品的平均成本为
3.6 。
19．已知生产某种产品的成本函数为20．微分近似计算函数值公式
2q，则产量qf'(x)x。
f(x
三、解答题：
1．求函数y
11
x11
x2(1)(1
x)
2
11
x11
的导数。
解：因为y
2x2
1
x
，所以
y'
(1x)
2
。
2．求函数y
lnxsinx
的导数。
1
解：y'
(lnx)'sinx
2
x
lnx(sinx)'
x
sinxlnxcosx
2
sinxxlnxcosxxsinx
2
sinxxe
cosx的导数。xexcosx
xexsinx
sinx
。
3．求函数y解：y'
excosx
2
ex(cosx
xcosx
xsinx)。
4．求方程y解：曲线y因为y'|x
x在点(3,9)处的切线方程。x在点(3,9)处的切线的斜率为2x|x9
32
yx在点(3,9)处的导数
2
3
6，所以切线的方程为3)0
y
即
6(xy
2
6x9
5．求函数y解：y'
sinxcos2x的导数。
sinx(sin2x)22sinxsin2x
2sinxcos3x。
22
2sinx(sinx)'cos2x2sinxcosxcos2x
2sinx(cosxcos2xsinxsinx2x)
6．求函数y解：y'
lntan1
x2
的导数。
2
tan
7．求函数y解：y'
x2
sec
x122
2sin
1x2
1
cos
x2
sinx
。
1cosx
nn
的导数。
(cosx)'ncosy
n1
x(cosx)'
sinx
nsinxcos
n1
x
。
8．利用对数求导法求函数解：两边取自然对数，得
(cosx)
的导数。
lnysinxlncosx
两边对x求导，得
y'yy'
cosxlncosxsinx
sinxcosx
(cosx)
sinx
y(cosxlncosxsinxtanx)(cosxlncosxsinxtanx)。
9．利用对数求导法求函数解：两边取自然对数，得
y(sinx)
lnx
的导数。
lnylnxlnsinx
两边对x求导，得
y'y
1x
lnsinxlnx
cosxsinx
lnx
y'y
y
1x
lnsinx
x
lnxcotx(sinx)
dy
1x
lnsinxlnxcotx
10．求方程xy所确定的隐函数的导数
dx
。
解：两边取自然对数，得
ylnxxlny
两边对x求导，得
y'lnxy
1x
lnyx
y'yy)x)
2
整理，得
dydxyx
y(xlnyx(ylnxln
x
2
。
11．求方程arctan
y所确定的隐函数的导数
dydx
。
解：两边对x求导，得
11
yx
2
y'xx
2
y
x
1
2
2xy
2
2yy'
2
2xy
2
整理，得
dydx
y
x
xx
yy
。
12．求方程xeye所确定的隐函数的导数
dydx
。
解：两边对x求导，得
e
y
xey'dydxye
x
y
y'e
yx
x
ye
xy
x
整理，得
ee
yexe
x
13．己知函数解：因为y'
xe，求yxe
x
(n)
。
e(x
x
1)，
高职专升本第二章导数及其应用习题及答案
