第十六讲 复杂周期问题
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同学们看看漫画中的小蜗牛，它在第几天爬出井呢？
其实蜗牛在最后一天的时候直接爬出了井口，并不会往下滑了，所以在考虑周期的时候要特别注意整个过程结束的时候是不是完整的周期．
当实际问题并不是一个完整的周期问题时，一定要先把周期之外的问题考虑好，再计算周期相关的问题．
比如一串数1、2、3、4、3、4、3、4……，在计算这个数列的相关问题时，一般要先排除掉前两个数的影响，即有头周期，要先“砍头”．
比如在蜗牛爬井问题中，爬出井口的那天不需要再下滑，所以要先去掉最后一天的影响，即有尾周期，要先“去尾”．注意最后的周期是否完整．
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例题1
一只蜗牛在一口15米深的井底，如果它每个白天往上爬3米，但是在晚上又往下滑1米，请问：
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这只蜗牛在第几天能爬出这口井？
分析：经典的蜗牛爬井问题，想清楚每天会向上爬几米以及最后一次是怎么爬的？
练习1
（1）工厂的仓库里有80吨货物，这些货物都由同一辆卡车负责运输．第一天卡车往仓库里运进50吨，第二天运出了60吨，第三天又运进50吨，第四天再运出60吨，…… 如此不停地循环下去．第几天的时候，仓库里的货物才会被运完？
（2）工厂的仓库里有80吨货物，同样是由一辆卡车负责货物的运输．第一天，卡车从仓库里运出60吨，第二天再运进50吨，第三天又运出60吨，第四天再运进50吨，…… 如此不停地循环下去．第几天的时候，仓库里的货物才会被运完？
例题2
桌子上原本放着6块巧克力，第1天阿呆吃掉了2块，第2天妈妈又放了4块巧克力，第3天阿呆又吃掉2块，第4天妈妈又放上4块，…… 如此不停循环下去，请问第几天结束的时候桌子上有10块巧克力？（请写出所有的可能）
分析：这个题目的周期和例题1相似，每两天桌上多出2块巧克力，那么多少天以后桌上有10块巧克力？想想是否一定要两天两天的考虑？
练习2
菜地里有7根成熟的胡萝卜，第1天白兔妈妈挖出3根，第2天又有4根胡萝卜成熟了，第3天白兔妈妈又挖出3根，第4天又有4根胡萝卜成熟了，…… 照这样下去，到第几天的时候，菜地里刚好有8根成熟的胡萝卜？（请写出所有的可能）
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在周期问题中，还有一类非常经典的题型，即和日期相关的题型．比如同学们最熟悉的星期．我们经常需要去计算一些和星期几有关的问题．
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例题3
（1）如果今天是星期六，再过60天是星期几？ （2）如果前天是星期一，从今天起再过50天是星期几？ 分析：（1）每个星期有几天？（2）前天和今天差几天？
练习3
如果今天是星期四，再过30天是星期几？
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小 总 结 ? 四年一闰，百年不闰，四百年再闰． ? 闰年：2月有29天，一年366天． 平年：2月有28天，一年365天． ? 一星期是7天，所以是7天一周期． ? 大月小月的判断：一、三、五、七、八、十、腊，三十一天永不差；拳头法： - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
接下来我们来学习如何判断某一年是闰年还是平年．如1921年，不是4的倍数，所以一定是平年．如1924年，是4的倍数，但不是100的倍数，所以一定是闰年．如1700年，是4的倍数，是100的倍数，但不是400的倍数，所以一定是平年．如2000年，是4的倍数，是100的倍数，也是400的倍数，所以一定是闰年．
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小 判 断 四年一闰，百年不闰，四百年再闰． 判断下面哪些年份是闰年？哪些年份是平年？ （1）1949年是__________． （3）1900年是__________． （2）1988年是__________． （4）4000年是__________．
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例题4
（1）2033年1月4日是星期二，请问：2033年4月20日是星期几？ （2）2052年1月20日是星期六，请问：2052年4月5日是星期几？
分析：2033年和2052年各是平年还是闰年？1月、2月、3月都有多少天？一个星期有多少天？
练习4
2012年3月12日是星期一，请问：2012年儿童节是星期几？
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在日期问题中有个非常好用的小技巧叫“度年如日”，那么这个小技巧对于我们解决其他的周期问题有什么启示吗？
例题5
2013年元旦是星期二，请问： （1）2012年元旦是星期几？ （2）2014年5月20日是星期几？ 分析：度过一个平年，星期数会加几？
例题6
某月有31天，有4个星期二和4个星期五，那么这个月的20日是星期几？
分析：想清这个月是几个整周，零出来几天？这几天分别是星期几？本月的第一天是星期几呢？
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课 堂 内 外 闰年 地球绕日运行周期为365天5小时48分46秒（合365.24219天），即一回归年（tropical year）．公历的平年只有365日，比回归年短约0.2422日，每四年累积约一天，把这一天加于2月末（即2月29日），使当年时间长度变为366日，这一年就为闰年．需要注意的是，现在的公历是根据罗马人的“儒略历”改编而得．由于当时没有了解到每年要多算出0.0078天的问题，从公元前46年，到16世纪，一共累计多出了10天．为此，当时的教皇格雷果里十三世，将1582年10月5日人为规定为10月15日．并开始了新闰年规定．即规定公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年，不是400的倍数的就是平年．比如，1700年、1800年和1900年为平年，2000年为闰年．此后，平均每年长度为365.2425天，约4年出现1天的偏差．按照每四年一个闰年计算，平均每年就要多算出0.0078天，经过四百年就会多出大约3天来，因此，每四百年中要减少三个闰年．闰年的计算，归结起来就是通常说的：四年一闰，百年不闰，四百年再闰．
作业
1. 小懒猴摘桃子．它每天白天摘3个桃子，但到了晚上就要吃掉5个桃子．如果第一天白天之前小懒
猴家里存着20个桃子，那么到第几天晚上它就会吃完所有的桃子？
2. 第一天蜗牛在井的底部，井深100米，蜗牛每天白天向上爬10米，晚上下滑5米，请问蜗牛在第
几天爬出井口？
3. 如果今天是星期三，那么再过24天是星期几？
4. 2013年10月1日是星期二，那么2013年12月31日是星期几？
5. 2020年元旦是星期三，那么2021年元旦是星期几？
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高斯小学奥数含答案三年级(上)第16讲 复杂周期问题
