高考数学专题八平面向量精准培优专练理
一、平面向量的建系坐标化应用
例1：在△ABC中，BC?6，BC边上的高为2，则AB?AC的最小值为． 【答案】?5 【解析】以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示平面直角的坐标系，
0)，0)，C(3，则B(?3，A(x,2)，
即AB?(?3?x,?2)，AC?(3?x,?2)，AB?AC?(?3?x)(3?x)?4?x2?5，
故当x?0时，取得最小值为?5，此时AB?AC．
二、平面向量中三点共线问题
例2：设a，b是两个不共线的单位向量，若c满足c?(3?2?)a?(2??2)b，且c?1，则当a?b 3最小时，在a与b的夹角的余弦值为．
【答案】?7 9
【解析】作OA?a，OB?b，OC?c，
∵c?(3?2?)a?(2??2)b，且(3?2?)?(2??2)?1，∴A,B,C三点共线，
∵a?b?OA?OB?BA，c?1，∴如图所示，当OC?AB时，a?b最小， 3 又∵a，b为单位向量，∴cos?AOC?1， 32即a与b的夹角的余弦值为2cos?AOC?1??7． 9
三、平面向量与三角形的四心问题
例3：已知A，B，C是平面内不共线三点，O是△ABC的外心，动点P满足
1OP?[(1??)OA?(1??)OB?(1?2?)OC](??R)，则P的轨迹一定通过△ABC的（）
3A．内心 【答案】D
B．垂心
C．外心
D．重心
【解析】取AB边的中点M，则OA?OB?2OM，
由OP?[(1??)OA?(1??)OB?(1?2?)OC)](??R)，
13可得3OP?2OM?OC?2?(OC?OM)?3OM?(1?2?)MC，
所以MP?1?2?MC(??R)，即点P的轨迹为三角形中AB边上的中线，故选D． 3
四、平面向量与三角函数结合
例4：已知向量a?(cos?x?sin?x,sin?x)，b?(?cos?x?sin?x,23cos?x)，设函数
?1?f(x)?a?b??(??R)的图象关于直线x?π对称，其中?，?为常数，且???,1?．
?2?
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）y?f(x)的图象经过点??π??3π?,0?，求函数f(x)在区间?0,?上的取值范围． ?4??5?【答案】（1）T?6π?1?2,2?2?；（2）???． 522【解析】（1）由题意得，f(x)?sin?x?cos?x?23sin?x?cos?x?? π??cos2?x?3sin2?x???2sin(2?x?)??，
6∵直线x?π是y?f(x)图象的一条对称轴，
∴2?π?ππk1?kπ?(k?Z)，解得???(k?Z)， 6223又∵??(,1)，k?Z，∴k?1，??125， 6即f(x)的最小正周期是6π． 5?π?y?f(x)（2）∵图象过点?,0?，
?4?∴f()?0，即???2sin(?π4?πππ?)??2sin??2， 6264故f(x)?2sin(x?)?2，
53π6∵0?x?3ππ5π5π，∴??x??， 56366即?15π5π?sin(x?)?1，可得?1?2?2sin(x?)?2?2?2， 23636?3π??1?2,2?2?上的取值范围为?． ???5??故函数f(x)在?0,
对点增分集训
一、选择题
1．已知向量a?(cos??2,sin?)，其中??R，则|a|的最小值为（）
A．1 【答案】A
B．2 C．5 D．3 【解析】∵a?(cos??2,sin?)，
∴|a|?(cos??2)?sin??1?4cos??4?5?4cos?，
22又∵??R，∴?1?cos??1，即|a|的最小值为5?4?1．
2．在△ABC中，G为△ABC的重心，过G作直线分别交直线AB，AC于点M，N，设AM?xAB，AN?yAC，则xy?（） x?yA．3 B．1 3C．2 D．1 3【答案】B
【解析】∵G为△ABC的重心，∴AG?11AB?AC， 33∵AM?xAB，AN?yAC，∴AG?11AM?AN， 3x3y又∵G，M，N三点共线，∴11xy1??1，解得?． 3x3yx?y33．若O为△ABC所在平面内一点，且满足|OB?OC|?|OB?OC?2OA|，则△ABC的形状为（） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 【答案】B
C．等腰三角形
D．等边三角形
【解析】∵OB?OC?CB，OB?OC?2OA?OB?OA?OC?OA?AB?AC，
高考数学专题八平面向量精准培优专练理
