2019 考研数学完整版及参考答案
一、选择题： 1－ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 （1）设函数 y
.
每小题给出的四个选项中，只有一项符合
f ( x) 具有二阶导数， 且 f ( x )
0, f ( x ) 0 ， x 为自变量 x在点 x0 处的增
量，
y与 d y 分别为 f ( x ) 在点 x0 处对应的增量与微分，若 (A) (C)
x 0 ，则（
y 0 .
）
0 dy y . (B)
(D)
0
dy
y dy .
x
y dy 0 .
（2）设 f ( x ) 是奇函数，除
x 0 外处处连续， x 0 是其第一类间断点，则
f (t )dt
0
是
（ A）连续的奇函数 . （C）在 x
（B）连续的偶函数 （D）在 x
0 间断的奇函数 0 间断的偶函数 .
（ ）
（3）设函数 g ( x ) 可微， h(x)
e
1 g(x) , h (1) 1,g (1) 2，则 g(1)等于（
ln3 1.
（D） ln 2 1.
（B）
）
（ A） ln3
1 .
（ C） ln 2 1.
（4）函数 y
x2xxex 满足的一个微分方程是
Ce Ce [ ] 12xx3 e. 2 3e. 2 （ A） （B）
y y y x y y y
2 3 ex. 2 3ex. （ C） （D）
y y y x y y y
1
（5）设 f ( x, y) 为连续函数，则
4
0 d 0 f (r cos
（Ａ）
2
0
2
dx
2
1
x 2
x
f ( x, y)d y
., r sin )rdr
dx
0
2等于（）
（ B）
2
2 2 0
21 x
f ( x, y)d y
.
2 2
0
1 y
(C)
dy
y
f ( x, y)dx .
(D)
20
d y
0
1 y
f ( x, y )d x
.
（6）设 f ( x , y )与
( x , y ) 均为可微函数，且
( , ) 0 ，已知 (x , y )是 f ( x, y) 在约束 x y 0 0 y
条件 ( x , y )
(A)
0 下的一个极值点，下列选项正确的是（）
若 f x (x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 若
0 .
(B) (C) (D)
f x (x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )
0 .
若0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 . 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 .
若 f x ( x0 , y0 )
（7）设
1, 2,L , s均为 n维列向量， A 为 m n矩阵，下列选项正确的是
[ ]
(A) 若 1, 2 ,L , s线性相关，则 A 1, A 2 ,L , A s线性相关 . (B) 若 1, 2 ,L , s线性相关，则 A 1, A 2 ,L , A s线性无关 . (C) 若 1, 2 ,L , s线性无关，则 A 1, A 2 ,L , A s 线性相关 . (D)
若 1, 2 ,L , s线性无关，则 A 1, A 2 ,L , A s 线性无关 .
A
A
B
B
（8）设
为 3 阶矩阵，将
的第 2 行加到第 1 行得
，再将
的第 1 列的
1 1 0
2 列得 C ，记 P0
1 0 ，则（）
0 0 1
（Ａ） C P 1 AP .
（Ｂ） C PAP 1 .
（Ｃ） C
PT AP .
（Ｄ） C PAP T .
一．填空题
（9）曲线 y
x 4sin x 的水平渐近线方程为
5 x 2cos x
x
1
（10）设函数 f ( x)
3 2
sin t dt, x 0
0
x
在 x
0 处连续，则 a
a,
x 0
（11）广义积分
xdx
(1 x2 )2.
0
（12） 微分方程 y
y (1x ) 的通解是
x
y
dy
（13）设函数 y
y( x) 由方程 y
1 xe 确定，则
x 0
dx
（14）设矩阵 A
2
1 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA B 2E ，则
1 ， E 为 2 2
B
.
三 、解答题： 15－ 23 小题，共 94 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （ 15）（本题满分 10 分）
试确定 A, B,C 的值，使得
ex(1 Bx Cx2 ) 1 Ax o(x3 ) ，
其中 o(x3
)是当 x
0 时比 x 3 高阶的无穷小 .
1
倍加到第
.
（ 16）（本题满分 10 分）
求
arcsinex
dx. ex
（ 17）（本题满分 10 分）
设区域 D
( x, y ) x
2
y
2
1, x
0 ， 计算二重积分1 xy
22
dxdy.
D 1 x
y
（18）（本题满分 12 分）
设数列 xn
满足 0 x1
, xn 1 sinxn (n 1,2,L )
（Ⅰ）证明 lim xn 存在，并求该极限；
n
1
（Ⅱ）计算
lim x
n 1
x2n
.
n
xn
（ 19）（本题满分 10 分）
证明：当 0
a b
时，
b sin b 2cos b
b a sin a 2cosa
a .
（20）（本题满分 12 分）
设函数 f ( u) 在 (0,
) 内具有二阶导数，且 z f
x 2 y 2 满足等式
2 z
2
z
x 2
y
2
0 .
（ I ）验证 f ( u ) f ( u )
0 ；
u
（ II ）若 f (1)
0, f (1) 1 ，求函数 f ( u ) 的表达式 .
（21）（本题满分 12 分）
x
t2 1
,
已知曲线 L 的方程
y 4t t
2
(t 0)
（ I ）讨论 L 的凹凸性；
（ II ）过点 (
1,0) 引 L 的切线，求切点
(x0, y0) ，并写出切线的方程；
（ III ）求此切线与 L（对应于 x
x0 的部分）及 x 轴所围成的平面图形的面积
（ 22）（本题满分 9 分）
已知非齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 1
4x1 3x2 5x3 x4
1 ax1 x2 3x3 bx4
1
有 3 个线性无关的解 .
.
（Ⅰ）证明方程组系数矩阵
A 的秩 r A 2；
T
（Ⅱ）求 a , b 的值及方程组的通解 . （23）（本题满分 9 分）
T
设 3 阶实对称矩阵
A 的各行元素之和均为
3, 向量 11,2, 1 , 2
0, 1,1 是
线性方程组 Ax 0 的两个解 .
( Ⅰ ) ( Ⅱ )
求 A 的特征值与特征向量； 求正交矩阵 Q 和对角矩阵
T
, 使得 Q AQ
.
数学答案
1. A 【分析 】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解
【详解 】
由 f ( x)
.
0, f ( x) 0 知，函数 f ( x) 单 y f ( x) 的图形如
调增加，曲线 y 右图所示，显然当
f ( x) 凹向，作函数
x 0 时，
y dy
f (x0 )dx f (x0 ) x 0，故应选 ( Ａ ).
. 本题
【评注 】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函
数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法 还可用拉格朗日定理求解：
y f (x0
因为 f ( x) 则
x) f (x0 ) f ( ) x, x0
0 ，所以 f ( x) 单调增加，即 f
x0 x
( ) f (x0 ) ，又 x 0 ，
y f ( ) x f (x0 ) x dy 0，即 0 dy y .
定义一般教科书均有， 类似例题见 《数学复习指南》 （理工类） P.165【例 6.1 】，
P.193【１（３）】 .
2. B【分析 】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题
设条件的特殊函数
f ( x ) 去计算 F ( x)
x 0
f (t )dt ，然后选择正确选项 .
【详解 】取
x 0
f ( x)
x
x, x
0 0
.
2 21,x
lim
0
则当 x 0 时， F ( x)
f (t)d t
tdt
1 lim x0
2
x ，21
2
而 F (0)
0 lim F ( x) ，所以 F ( x) 为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）
x 0
.
【 评注 】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择 题，用赋值法求解往往能收到奇效 卷（数学三） （8） .
.
2006 文登最新模拟试
符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见
h(x) e3. C 【分析 】题设条件
1 g (x) 两边对 x求导 , 再令 1 即可 .
x
g( x)1
【详解 】 h(x) e 得
两边对 x求导 ,
h (x) e1 g(x) g (x) .
2 ，可得
上式中令 x 1 ，又 h (1) 1, g (1)
1 g (1)
1 g (1)
1 h (1) e g (1) 2e g(1) ln2 1
，故选（ C） .
【评注 】本题考查复合函数求导，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班
《高等数学》 第 2 讲第 2 节【例 12】，《数学复习指南》
理工类 P.47 【例 2.4 】，《数学题型集粹与练习题集》理工类 P.1 【典例精析】 .
4. D【分析 】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系 . 故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由
特解形式判定非齐次项形式 .
【 详解 】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为
1
1,
2
2.
则对应的齐次微分方程的特征方程为
(
y
20,即 1)( 2)
2 0 .
故对应的齐次微分方程为
y 2 y 0 .
y
又 *
x
ex 为原微分方程的一个特解， 而
f x C C
xe （ ( ) 的非齐次项应具有形式
1 为特征单根， 故原非齐次线性微分方程右端
为常数） . 所以综合比较四个选项，应选（ D） .
【评注 】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握
..
对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式
完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第 《考研数学过关基本题型》
7 讲第 2 节【例 9】和【例 10】，《数学
复习指南》 P.156 【例 5.16 】，《数学题型集粹与练习题集》 （理工类） P.195（题型演练 3），
（理工类） P.126 【例 14】及练习 .
5. C 【分析 】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题
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