【例3】.
（2010武汉中考）如图，拋物线y1=ax
2
2axb经过A(1，0)，C(2，
3)2两点，与x轴交于另一点B； (1) 求此拋物线的解析式；
(2) 若拋物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点(不与点B重合)，点Q在线段MB上
移动，且MPQ=45，设线段OP=x，MQ=
2y2，求y2与x的函数关系式，并直接2写出自变量x的取值范围；
(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与拋物线交于点E，G，与(2)中
的函数图像交于点F，H。问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由。
25. 解：(1) ∵拋物线y1=ax2axb经过A(1，0)，
a?b?0?31?a?23C(0，)两点，∴?，∴a= ， b?22?2? b=
2
y M Q A O P B x 3123，∴拋物线的解析式为y1= xx。 222123 (2) 作MNAB，垂足为N。由y1= xx易得M(1，2)，
22 N(1，0)，A(1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=22，
MBN=45。根据勾股定理有BM ∴(22)
2
2
y M Q O P N BN =PM
22
PN 。
MBP，
A 2
2=PM= (1
2
22
x)…，又
2
MPQ=45=
B x ∴△MPQ~△MBP，∴PM=MQMB= 由、得y2=
2y222…。 212
xx2512
。∵0x<3，∴y2与x的函数关系式为y2=xx2252y (0x<3)。
(3) 四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是 m
n=2(0m2，且m1)。∵点E、G是抛物线y1=
12
xx23 2 分别与直线x=m，x=n的交点，∴点E、G坐标为
F H E G x O 123123 E(m，mm)，G(n，nn)。同理，点F、H坐标
2222125125 为F(m，mm)，H(n，nn)。
22221251231252
∴EF=mm(mm)=m2m1，GH=nn(
22222232
)=n2n1。 22
2
12
nn2 ∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH。∴m2m1=n2n1，∴(mn2)(mn)=0。 由题意知mn，∴mn=2 (0m2，且m1)。
因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是mn=2 (0m2，且m1)。
【例4】. （2009武汉中考）如图，抛物线y?ax?bx?4a经过A(?1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D(m，m?1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且?DBP?45°，求点P的坐标．
y
2，0)，C(0，4)两点，25．解：（1）Q抛物线y?ax?bx?4a经过A(?1C ?a?b?4a?0， ???4a?4.?解得?2A O B x ?a??1，
?b?3.?抛物线的解析式为y??x2?3x?4．
（2）Q点D(m，m?1)在抛物线上，?m?1??m?3m?4，
y 即m?2m?3?0，?m??1或m?3．
22Q点D在第一象限，?点D的坐标为(3，4)．
C D ??CBA?45°． 由（1）知OA?OB，设点D关于直线BC的对称点为点E． QC(0，4)，?CD∥AB，且CD?3，
A E O B x ??ECB??DCB?45°， ?E点在y轴上，且CE?CD?3．
，． ?OE?1，?E(01)即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）．
（3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E．
??OBC?45°， 由（1）有：OB?OC?4，Q?DBP?45°，??CBD??PBA．
y C P A E D QC(0，，4)D(3，4)，?CD∥OB且CD?3．
??DCE??CBO?45°，
?DE?CE?32． 2F O B x
52， 2QOB?OC?4，?BC?42，?BE?BC?CE?DE3?． BE5?tan?PBF?tan?CBD?设PF?3t，则BF?5t，?OF?5t?4，
?P(?5t?4，3t)． QP点在抛物线上，
?3t??(?5t?4)2?3(?5t?4)?4，
?t?0（舍去）或t?22?266?，?P??，?． 25?525?方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H．过Q点作
QG⊥DH于G．
Q?PBD?45°，?QD?DB． ??QDG??BDH?90°，
又?DQG??QDG?90°，??DQG??BDH．
A Q C P y D G B O H ?△QDG≌△DBH，?QG?DH?4，DG?BH?1． 4)，?Q(?13)，． 由（2）知D(3，312QB(4，0)，?直线BP的解析式为y??x?．
552??y??x2?3x?4，x??，??x1?4，?2?5解方程组? ?312得??y?66.?y??x?，?y1?0；255??25??266??点P的坐标为??，?．
?525?
x
【例5】. （2011年四调）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛
物线C1上，那么，我们称抛物线C1与C2关联．
222
（1）已知抛物线①y=x+2x﹣1，判断下列抛物线②y=﹣x+2x+1；③y=x+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由．
（2）抛物线C1：y=（x+1）﹣2，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1与C2关联，求抛物线C2的解析式．
（3）A为抛物线C1：y=（x+1）﹣2的顶点，B为与抛物线C1关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角△ABC，使其直角顶点C在y轴上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。 专题：代数几何综合题。 分析：（1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上即可求得答案；
（2）首先求得抛物线C1的顶点坐标，则可得：点P在直线y=2上，则可作辅助线：作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，
F，则可求得：点N的坐标，利用顶点式即可求得结果；
（3）分别从当A，B，C逆时针分布时与当A，B，C顺时针分布时分析，根据全等三角形的知识，即可求得点C的坐标，注意别漏解．
解答：解：（1）∵①抛物线y=x+2x﹣1=（x+1）﹣2的顶点坐标为M（﹣1，﹣2），
2
∴②当x=﹣1时，y=﹣x+2x+1=﹣1﹣2+1=﹣2， ∴点M在抛物线②上；
∵③当x=﹣1时，y=x+2x+1=1﹣2+1=0， ∴点M不在抛物线③上；
∴抛物线①与抛物线②有关联；
∵抛物线②y=﹣x+2x+1=﹣（x﹣1）+2，其顶点坐标为（1，﹣2）， 经验算：（1，﹣2）在抛物线①上， ∴抛物线①、②是关联的；
（2）抛物线C1：y=（x+1）﹣2的顶点M的坐标为（﹣1，﹣2），
∵动点P的坐标为（t，2）， ∴点P在直线y=2上，
作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则ME=NF=3， ∴点N的纵坐标为6， 当y=6时，（x+1）﹣2=6，
解得：x1=7，x2=﹣9，
2
①设抛物C2的解析式为：y=a（x﹣7）+6， ∵点M（﹣1，﹣2）在抛物线C2上，
2
2
2
2
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二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)
