湖南省长沙市2019-2020学年高考二诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是二次函数f(x)?x2?bx?a的部分图象，则函数g(x)?alnx?f?(x)的零点所在的区间是（ ）
A．??11?,? 4?2??1?B．?,1?
?2?C．(1,2) D．(2,3)
【答案】B 【解析】 【分析】
根据二次函数图象的对称轴得出b范围，y轴截距，求出a的范围，判断g(x)在区间端点函数值正负，即可求出结论. 【详解】
∵f(x)?x2?bx?a，结合函数的图象可知， 二次函数的对称轴为x?b，0?f(0)?a?1， 21b?x??1，∵f?(x)?2x?b， 22所以g(x)?alnx?f?(x)?alnx?2x?b在(0,??)上单调递增. 又因为g?1?1??aln?1?b?0,g(1)?aln1?2?b?0， ?22???1?所以函数g(x)的零点所在的区间是?,1?.
?2?故选:B. 【点睛】
本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题. 2．已知y?log2?x2?2x?17?的值域为?m,???，当正数a，b满足
21??m时，则7a?4b3a?ba?2b的最小值为（ ） A．
9 4B．5 C．
5?22 4D．9
【答案】A 【解析】 【分析】 利用y?log2【详解】
2x?1??16?的值域为m,???, 解：∵y?log2x?2x?17?log2?????x2?2x?17?的值域为?m,???,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出7a?4b的最小值.
??2?∴m?4, ∴
41??4,
6a?2ba?2b11??46a?2b?a?2b?????????6a?2ba?2b? 4???∴7a?4b?1?6a?2b4?a?2b??19??5????5?4?, ???4?a?2b6a?2b?44当且仅当
6a?2b4?a?2b?时取等号, ?a?2b6a?2b∴7a?4b的最小值为故选：A. 【点睛】
9. 4本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题. 3．若复数z?1?A．5 22i（i为虚数单位），则z的共轭复数的模为（ ） 1?iB．4
C．2
D．5 【答案】D 【解析】 【分析】
由复数的综合运算求出z，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模． 【详解】
Qz?1?2i?1?i?2i?1??2?i，?z?2?i,?z?5． 1?i1?i1?i????故选：D． 【点睛】
本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题． 4．已知随机变量X的分布列是
X P 1 1 22 1 33 a 则E?2X?a??（ ） A．
5 3B．
7 3C．
7 2D．
23 6【答案】C 【解析】 【分析】
利用分布列求出a，求出期望E?X?，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】
由分布列的性质可得
1111115??a?1，得a?，所以，E?X??1??2??3??，
6236323??1?1517?2EX??2???. ???6?6362因此，E?2X?a??E?2X?故选：C. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．
x2y25．存在点M?x0,y0?在椭圆2?2?1(a?b?0)上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此
abb?x0xy0y?0,???1点的切线2垂直的直线经过点??，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
2?ab2??2?A．?0,?
2??【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】
?2?B．??2,1??
???3?C．?0,?
3???3?D．??3,1??
??b2x0x0xy0y因为过点M椭圆的切线方程为2?2?1,所以切线的斜率为?2,
ay0aby0?b32b2???bx0???1,解得y0?2?b,即b2?2c2,所以a2?c2?2c2,
?2?2cx0?ay0?由
所以
c3a?3. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.
?x?y6．已知变量x，y满足不等式组??2?x?y?1，则2x?y的最小值为（ ）
??x?0A．?4 B．?2
C．0
D．4
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【详解】
?x?y?2解：由变量x，y满足不等式组??x?y?1，画出相应图形如下：
??x?0可知点A?1,1?,B?0,2?，
2x?y在B处有最小值，最小值为?2.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.
7．若两个非零向量r?rr???ra?rb??0rrrra、rb满足a?b，且a?b?2a?b，则ra与rb夹角的余弦值为（A．
35 B．?35 C．
112 D．?2 【答案】A 【解析】
）
【分析】
rrrrrrrr设平面向量a与b的夹角为?，由已知条件得出a?b，在等式a?b?2a?b两边平方，利用平面向
量数量积的运算律可求得cos?的值，即为所求. 【详解】
rrrrrrr2r2r2r2rr设平面向量a与b的夹角为?，Qa?b?a?b?a?b?a?b?0，可得a?b，
????rrrrr2rrr2r2rrr23在等式a?b?2a?b两边平方得a?2a?b?b?4a?8a?b?4b，化简得cos??.
5故选：A. 【点睛】
本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
8．已知函数f?x??3sin?x?3cos?x???0?，对任意的x1，x2，当f?x1?f?x2???12时，
x1?x2min?A．f??2，则下列判断正确的是（ ）
B．函数f?x?在??????1 6??????,?上递增 62?????,0? ?3?C．函数f?x?的一条对称轴是x?【答案】D 【解析】 【分析】
7? 6D．函数f?x?的一个对称中心是?利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T，从而得到?，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断. 【详解】
???Qf?x??3sin?x?3cos?x?23sin??x??，
3????????Q??sin?x??1?23?23sin?x?又??，即???23，
3?3????有且仅有?23?23??12满足条件；
又x1?x2min??2，则
T???T??， 22?????2???2，?函数f?x??23sin?2x??，
3?T?
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