第 1 讲：集合的概念与运算
一、课程标准
1、通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
2、.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．了解全集与空集的含义． 3、.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
二、基础知识回顾
1、元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?。 2、集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A。
(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B。
(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 3、集合的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}． 4、集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A。
(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A。A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB (3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A。
（4）?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)。
B或BA。
5、相关结论：
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。
(2)不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作?.
三、自主热身、归纳总结
1、已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3，4,5}，则A∩B＝( ) A．{3} C．{3,5}
B．{5} D．{1,2,3,4,5,7}
2、已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝( ) A.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1}
B.{x|x≤1} D.{x|0 3、已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0 B．(0,3] D．[－1,0]∪(1,4] 4、已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________. 5、已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1?A，则实数a的取值范围是________. 6、（多选题）已知全集U?R，集合A，B满足AA．AB?B B，则下列选项正确的有( ) B?? B．AB?B C．(UA)D．A(UB)?? 7、（多选题）已知集合A?[2，5)，B?(a,??)．若A?B，则实数a的值可能是( ) A．?3 B．1 C．2 D．5 四、例题选讲、变式突破 考点一 集合的基本概念 ???x＋1? x∈Z?例1、已知集合A＝??x－2≤0? ?? ? ，则集合A的子集的个数为( ) ?? A． 7 B． 8 C． 15 D．16 【变式1】若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( ) A. 9 2 9B.8 C.0 9D.0或8 b?? ?0，，b? 【变式2】设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝?a?，则b－a＝( ) A．1 C．2 B．－1 D．－2 【变式3】已知P＝{x|2 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性 考点2、集合间的基本关系 ??????kππkππ ?x＝＋，k∈Z??x＝－，k∈Z? 例2、已知集合M＝?x?4484?，集合N＝?x??，则( ) A．M∩N＝? C．N?M B．M?N D．M∪N＝M 例3、已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1 (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解. 考点三：集合的运算 例4、若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则A∩B＝________，(?RA)∪B＝________. 1?? ?x∈N|≤2x≤16?2 【变式1】设集合A＝?4?，B＝{x|y＝ln(x－3x)}，则A∩B中元素的个数是________. 【变式2】已知集合M＝{x|－4 D．{x|2 【变式3】已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA＝( ) A．{x|－1 C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2} 方法总结：集合运算的常用方法 ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}． 例5、设集合A＝{0，－4}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．【变式】已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B?A，则实数m的取值范围为________． 方法总结：利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 考点五：集合的新定义问题 11?? ?－1，0，，2，3? 例6、.若x∈A，则x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝?2?的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.1 C.7 B.3 D.31 【变式】．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论： ①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合； ③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合． 其中正确结论的序号是________． 方法总结：正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口。 五、优化提升与真题演练 1、设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________. 3?? A.?－3，－2? 3?? B.?－3，2? ?3?C.?1，2? ?3?D.?2，3? 2、设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则?U(A∪B)等于( ) A.{1，4} B.{1，5} C.{2，5} D.{2，4} 3、已知集合A?{x2xx2}，B?{x|x?1?53}，则AB?（ ） A．???0,2?3?? B．(??,2) C．(0.??) D．??2?3,2??? 4、若全集0，1，，，则 A． B． C． D． 1， 5、已知集合A?{?1,0,1,2},B?{x|x2?1}，则A?B?（ ） A．??1,0,1? B．?0,1? C．??1,1? D．?0,1,2? 6、设集合A?{?1,1,2,3,5},B?{2,3,4},C?{x?R|1?x?3}，则(A∩C)∪B＝（ ） A．?2? B．?2,3? C．??1,2,3? D．?1,2,3,4? 7、已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( ) A.{0} B.{1} C.{1，2} D.{0，1，2} 8、已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①M＝ ? ?? x，yb\\lc|\\rc (a\\vs4al\\co1(y＝1 x)) ； ②M＝{(x，y)|y＝log2x}； ③M＝{(x，y)|y＝ex－2}； ④M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}． 其中是“垂直对点集”的序号是( ) A．①④ B．②③ C．③④ D．②④ 9、（多选题）已知A?{第一象限角}，B?{锐角}，C?{小于90?的角}，那么A、B、C关系是( ) ???
第01讲 集合的概念与运算(原卷版)
