§6.4 数列求和、数列的综合应用
基础知识专题固本夯基
【基础训练】
考点一 数列求和
1.在等差数列{an
n}中,a4＝5,a7＝11.设bn＝(-1)·an,则数列{bn}的前100项之和S100＝( ) A.-200 B.-100 C.200 D.100 【参考答案】D
2.数列{an}的前n项和为Sn,若a1
n＝
??(??+1)
,则S5等于( )
A.1 B.5 C.1 D.16630 【参考答案】B 3.设f(x)＝
4??
,求14??+2
S＝f(
2 002)+f(22 002)+…+(2 001
2 002
)的值. 【试题解析】∵f(x)＝4??41-??44??+2,∴f(1-x)＝41-??+2
＝4+2·4??＝4??2+2, ∴f(x)+f(1-x)＝1, ∵S＝f(12 002)+f(22 002)+…+f(2 001
2 002
) ＝f(
2 0012 002)+f(2 0002 002)+…+f(12 002
), ∴2S＝f(
12 002)+f(22 002)+…+f(2 0012 002)+f(2 0012 002)+f(2 0002 002)+…+f(12 001
2 002)＝1×2 001＝2 001,∴S＝2
. 4.已知等差数列{a(a*
n}满足1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)＝2n(n+1)(n∈N). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{
??2????
-1}的前n项和Sn.
【试题解析】(1)设等差数列{an}的公差为d, 由已知得{
??1+??2＝4,
??(??+??+(??即{1+??2＝4,
12)2+??3)＝12,??2+??3＝8.
所以{
??1+(??1+d)＝4,
(??1+d)+(??1+2d)＝8,解得{
??1＝1,
所以an＝2n-1. ??＝2.
(2)由(1)得
??2??-12
????
-1＝2
??-1,
所以S352??-3n＝1++2??-12
1+2
2+…+
2??-22??-1,①
1132S52??-32??-1
n＝2+22+23+…+2
??-1+2??,②
1
①-②得Sn＝1+1++2+…+所以Sn＝6-4??+6
. 2??12
1122
-??2??-22
12??-1
＝3-
2??+3
, 2??考点二 数列的综合应用
5.已知数列{an}满足an＝log(n+1)(n+2)(n∈N),我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的数n叫做“优数”,则在区间(1,2 004)内的所有“优数”的和为( )
A.1 024 B.2 003 C.2 026 D.2 048 【参考答案】C
6.已知函数f(x)＝2-3x-1,点(n,an)在f(x)的图象上,数列{an}的前n项和为Sn,n∈N. (1)求使an<0的n的最大值; (2)求Sn.
【试题解析】(1)由已知得an＝f(n)＝2-3n-1,
n
x
*
*
则f '(n)＝2ln 2-3,n∈N,
n
*
当f '(n)>0,即n≥3时, f(n)单调递增, 当f '(n)<0,即1≤n≤2时, f(n)单调递减. 又∵an<0,即2-3n-1<0,
n
当n＝2时,2-6-1<0,当n＝3时,2-9-1＝-2<0,当n＝4时,2-12-1>0.∴使an<0的n的最大值为3.
2
3
4
(2)Sn＝a1+a2+…+an＝(2+2+…+2)-3(1+2+3+…+n)-n ＝
2(1-2??)??(??+1)n+1??(3??+5)
-3·-n＝2--2. 1-222
2n
7.已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2,且a1+1,a2+1,a4+1成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn＝
1*
,n∈N,Sn是数列{bn}的前????????+1
n项和,求使Sn<成立的最大的正整数n.
2
2
319【试题解析】(1)设{an}的公差为d.由a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,可得(a2+1)＝(a1+1)(a4+1),又a1＝2,∴(3+d)＝3(3+3d),解得d＝3(d＝0舍去),则an＝a1+(n-1)d＝2+3(n-1)＝3n-1. (2)由(1)知bn＝
111325
11111
＝＝(-), ????????+1(3??-1)(3??+2)33??-13??+2
11
-)
3??-13??+2
∴Sn＝(-+-+…+＝(-111??
)＝,则
323??+22(3??+2)
11
58
Sn<,即
319??3
<, 2(3??+2)19
解得n<12,则所求最大的正整数n为11.
综合篇知能转换
【综合集训】
考法一 错位相减法求和
1.(2018福建闽侯第八中学期末,16)已知数列{nan}的前n项和为Sn,且an＝2,则使得Sn-nan+1+50<0的最小正整数n的值为 . 【参考答案】5
2.(2020届广东揭阳第三中学第一次月考,19)已知{an}是公差d≠0的等差数列,a2,a6,a22成等比数列,a4+a6＝26,数列{bn}是公比q为正数的等比数列,且b3＝a2,b5＝a6.
2
n
(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
【试题解析】(1)∵{an}是等差数列,且a4+a6＝26,∴a5＝13,
2
又∵a2,a6,a22成等比数列,∴??6＝a2a22,
即(13+d)＝(13-3d)(13+17d),解得d＝3或d＝0(舍),
2
∴an＝a5+(n-5)d＝3n-2.∵b3＝a2,b5＝a6,∴q＝5＝
2
??
??3??63×6-2＝＝4,∴q＝2??23×2-2
或q＝-2(舍),
又∵b3＝a2＝4,∴bn＝b3·q＝4·2＝2.
n-3
n-3
n-1
(2)由(1)可知,an·bn＝(3n-2)·2,
∴Tn＝1×2+4×2+7×2+…+(3n-5)·2+(3n-2)·2, 2Tn＝1×2+4×2+7×2+…+(3n-5)·2+(3n-2)·2, 两式相减得-Tn＝1+3(2+2+…+2)-(3n-2)·2
1
2
n-1
n
1
2
3
n-1
n
0
1
2
n-2
n-1
n-1
＝1+3·
2(1-2??-1)nn
-(3n-2)·2＝-5-(3n-5)·2. 1-2
n
∴Tn＝5+(3n-5)·2.
3.(2018河南安阳第二次模拟,17)设等差数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)在函数f(x)＝x+Bx+C-1(B,C∈R)的图象上,且a1＝C. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn＝an(??2??-1+1),求数列{bn}的前n项和Tn. 【试题解析】(1)设数列{an}的公差为d, 则Sn＝na1+
??(??-1)??2??
d＝n+(??1-)n, 222
??
＝1,22
又Sn＝n+Bn+C-1,两式对照得{
2
??＝2,解得{
??＝1,??-1＝0,
*
所以a1＝1,所以数列{an}的通项公式为an＝2n-1(n∈N). (2)由(1)知bn＝(2n-1)(2·2-1+1)＝(2n-1)2, 则Tn＝1×2+3×2+…+(2n-1)·2,
2
n
n-1
n
2Tn＝1×2+3×2+…+(2n-3)·2+(2n-1)·2, 两式相减得Tn＝(2n-1)·2-2(2+…+2)-2
n+1
2
n
23nn+1
＝(2n-1)·2-2×
n+1
22(1-2??-1)n+1
-2＝(2n-3)·2+6. 1-2
考法二 裂项相消法求和
4.(2018湖南株洲醴陵第二中学、第四中学联考,3)数列{1√??+1+√??}的前2 017项的和为( )
A.√2 018+1 B.√2 018-1 C.√2 017+1 D.√2 017-1 【参考答案】B
5.(2019湖南岳阳一模,13)曲线y＝x+ln x(n∈N)在x＝处的切线斜率为an,则数列{
*
??22??
1
}的前????????+1
n项的和为 .
【参考答案】
?? ??+1
6.(2018湖北十堰调研,17)已知数列{an}中,a1＝1,a2＝3,其前n项和为Sn,且当n≥2时,an+1Sn-1-anSn＝0. (1)求证:数列{Sn}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)令bn＝
9????
,记数列{bn}的前
(????+3)(????+1+3)
n项和为Tn,求Tn.
3
2021年3月新高考数学复习资料§6.4数列求和数列的综合应用试题及参考答案
