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高三第一轮复习 《数列》5.3 等比数列
一、考点分布
1. 等比数列的概念（B）
2. 等比数列的通项公式与前n项和的公式（C） 二、考试要求
1. 理解等比数列的概念；
2. 掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式
3. 能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题； 4. 了解等比数列与指数函数的关系. 三、重点与难点
1. 熟练运用等比数列的通项公式求解问题是复习重点； 2. 判断或证明数列的等比关系是复习的难点. 四、复习过程 1. 知识梳理 等差数列 等比数列 定义 an?1?q或an?12?anan?2 an注意；an?0,q?0. 通项公式 前n项和公式 an?a1qn?1?amqn?m（离散型指数函数） ?na1,q?1,?Sn??a1(1?qn)注意q含字母讨论 ,q?1.?1?q?若m?n?s?t(m,n,s,t?N), 则am?an?as?at. *简单性质
2. 基础练习
（1）在等比数列{an}中，已知a3?1,S3?3，则a6?__________. 4提示：-8 方法一：基本量法列出a1,d方程组；方法二：求和公式
（2）在等比数列{an}中，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则公比q=_________. 提示：由题意，得4(a1?a1q)?a1?3(a1?a1q?a1q2)，故q(3q?1)?0.
又q?0,所以q?1. 3学习必备 欢迎下载
说明：等比数列通项公式与和Sn之间的联系，注意an?0,q?0. （3）已知数列{an}是等比数列,且an>0,n?N*,a3a5?2a4a6?a5a7?81，则
a4?a6? 9 ．
（4）设f(n)?2?24?27?210?（A）
?23n?10(n?N)，则f(n)等于
2n222(8?1) （B）(8n?1?1) （C）(8n?3?1) （D）(8n?4?1) 77773. 典型例题
例1.（1） 若等比数列{an}的公比q＜0，前n项和为Sn，则S2a3与S3a2的大小关系是
(A) S2a3＞S3a2
(B) S2a3＜S3a2 (C) S2a3= S3a2 (D)不确定
（2）已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋3(n∈N*)，则{an}的通项公式为_______．
例2.若数列{an}{bn}满足:a1?1,a2?a(a为常数),且bn?an?an?1(n?1,2,3,???). （Ⅰ）若{an}是等比数列，试求数列{bn}的前n项和Sn的公式；
（Ⅱ）当{bn}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？ 解：（1）因为{an}是等比数列a1=1,a2=a.∴a≠0，an=an－1. 又bn?an?an?1，
bn?1an?1?an?2an?2an?1则b1?a1?a2?a,???n?1?a2,
bnan?an?1ana即{bn}是以a为首项, a2为公比的等比数列.
?na??Sn??a(1?a2n)??1?a2(|a|?1),(|a|?1).
（II）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{bn}的公比为q，则
bn?1an?1an?2an?2???q且a?0 bnanan?1an又a1=1,a2=a, a1, a3, a5,…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列；
而a2, a4, a6, …, a2n , …是以a为首项，q为公比的等比数列， 即{an}为：1，a, q, aq , q2, aq2, ….
当q=a2时，{an}是等比数列；当q≠a2时，{an}不是等比数列.
1例3. 数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an?1?Sn，n=1，2，3，……，
3求 （I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（II）a1?a3?a5??a2n?1的值.
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解：（Ⅰ）由a1?1,an?1?
1111Sn,n?1,2,3,?,得a2?S1?a1?. 3333114a3?S2?(a1?a2)?,3391116a4?S3?(a1?a2?a3)?.332711由an?1?an?(Sn?Sn?1)?an(n?2),334
得an?1?an,(n?2),3114又a2?,所以an?()n?2(n?2).333n?1,?1,?所以,数列{an}的通项公式为an??14n?2(),n?2.??334942
）的等比数列， 3
（Ⅱ）由（I）可知a3，a3，…，a2n-1，是首项为,公比为（
所以a1?a3?a5?161?()n?1434169?a2n?1?1????()n?1. 91?(4)27793n为偶数n为奇数?1a1?2n例4. （备选）设数列{an}的首项a1=a≠，且a???n?14?a?1n??4,
1，n＝＝l，2，3，…·． 4（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； 记bn?a2n?1?
4. 规律总结：
①深刻理解等比数列的定义，紧扣“从第二项起”和“比是同一常数”，特别注意an?0,q?0.
②判断或证明等比数列的两种思路： 利用定义，证明
an?1?q为常数; an利用等比中项，证明an?12?anan?2对n?N*成立.
③方程思想：在a1,an,q,Sn,n五个两种，运用待定系数法“知三求二”；
高三第一轮复习等比数列教案
