初中数学竞赛辅导资料
条件等式的证明
甲内容提要
1. 恒等式：如果等式中所含的字母在允许值范围内，用任何实数值代替它，等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式.
2x?44例如： ①a+b=b+a， ②(a+b)2=a2+2ab+b2 ， ③ x－=(x≠0)，
xx ④ (a)2=a (在实数范围内a≥0)， ⑤nan=a(在实数范围内n为正奇数). 都是恒等式.
只含常数的等式是恒等式的特例. 如：3－2=1，
12?3?2?3.
2. 条件等式：满足一定条件下的等式，称为条件等式. 方程是条件等式，解方程就是
求出能满足等式的条件(未知数的值).
3. 证明条件等式就是在题设的条件下，判断恒等式.
4. 证明条件等式的方法，除和证明恒等式的一般方法(见第20讲)以外，要特别注意如何把已知的条件用上. 一般有以下几种：
① 用已知的条件直接代入(即等量代换).
② 变形后代入(包括把已知变形，或把结论变形). ③ 引入参数后代入(包括换元).
5. 分式，根式在恒等变形时，要注意字母保持允许值的范围不变. 乙例题 例1. 已知：
xzy?c且x+y+z≠0. ?a, ?b,
x?yy?zz?x求证：
abc???1. 1?a1?b1?c分析：①设法化为同分母， ②轮换式可先代入一式，其余的可用同型式
③用已知直接代入.
xaxy?z??证明 ：∵.
x1?ax?y?z1?y?z根据 轮换式的性质，得
∴
xyzabc???1. ??=
1?a1?b1?cx?y?zx?y?zx?y?z例2. 已知：
1111. ???abca?b?c1?1b2n?1?1c2n?1?1(n是整数).
(a?b?c)2n?1求证：
a2n?1分析：先把已知变形，找出a, b, c之间的关系. 证明：由已知，去分母，得
bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc.
(a+b+c)(bc+ac)+ab(a+b)=0 .
(a+b)(b+c)(c+a)=0.
∴a=－b， 或b=－c， 或c=－a. ∵n 是整数， ∴2n+1是奇数.
当a=－b时 ，左边=
1111??? ； 2n?12n?12n?12n?1(?b)bcc 右边=
11=.
(?b?b?c)2n?1c2n?1 即a=－b时，等式成立.
同理可证：当b=－c和c=－a时，等式也成立 .
∴
1a2n?1?1b2n?1?1c2n?1?1(n为整数 ). 2n?1(a?b?c)例3. 已知：ax3=by3=cz3,
111???1. xyz3求证：3ax2?by2?cz2?a?3b?3c.
证明：设ax3=by3=cz3= k . ( 引入参数)
那么
ax2=
k
kk, by2=, cz2=. 代入左边，
xyz得 ： 左边=3kkk111???3k(??)?3k； xyzxyz而且 a=
kkk, b=, c=. 代入右边，
y3x3z3 得： 右边=3kk3k11133??)k=3k. ???(333xyzxyz223∴3ax?by?cz?
2a?3b?3c.
例4. 已知： abc ≠0，方程(ac－bc)x2+(bc－ab)x+(ab－ac)=0有两个相等实根.
1111??? bacb1111 分析：要等式???成立，必须且只须ac－bc=ab－ac.
bacb 求证：
证明：∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0.
即 (bc－ab)2－4(ac－bc) (ab－ac)=0.
(bc－ab+ac－ac)2+4(bc－ac)(ab－ac)=0， (添项ac－ac) ［(bc－ac)－(ab－ac)］2+4(bc－ac)(ab－ac)=0.
∴［(bc－ac)+(ab－ac)］2=0 . ∴bc－ac+ab－ac =0. ∴ ac－bc=ab－ac. ∵abc≠0，两边都除以abc,
1111???. bacb111例5. 已知：a+?b??c?， a≠b≠c.
bca得，
求证：a2b2c2=1. 证明：由已知a－b=
11b?c, ?=
cbbc∵ a ≠b，即a－b≠0， ∴bc=
b?c. a?b根据轮换式性质，得同型式： ca=
c?aa?b, ab=. b?cc?aa?bb?cc?a∴ ab×bc×ca=×× .
c?aa?bb?c ∴a2b2c2=1.
丙练习53
abc???1
ab?a?1bc?b?1ca?c?1a?bc?a b?c2. 已知： x=, y=, z=.
a?bc?ab?c1. 已知： abc=1. 求证：
求证： (1+x)(1+y)(1+z)=(1－x)(1－y)(1－z). 3. 已知：(ay－bx)2+(bz－cy)2+(cx－az)2=0 . 求证： 4. 已知：
xyz??. abcab?. 求证： (a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c). bcabc??.
z?2y?xx?2z?yy?2x?z5. 已知：
求证：a+b+c=0 .
6. 已知：
a?b?cb?c?ac?a?b， a+b+c ≠0. ??cab(a?b)(b?c)(c?a)求证： ?8.
abc11??1， x>0, y>0. xy7. 已知： 1949x2=1988y2 且
求证：
1949x?1988y?1949?1988.
a?b2ab
， 且a<0, b<0. 求证：
8. 已知：x=
2a1?x2(a?b)(x?1?x2)?a. b9. 已知：x=
2ab (a>0,0 xzy?c. ?a，?b， x?yy?zz?x 求证： abc???1. 1?a1?b1?c12. 已知：a+b+c=0, a2+b2+c2=0, a3+b3+c3=0. 求证： a4+b4+c4=0.
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