高中数学选修1-2学案：2.2.2 反证法

由天下分享时间：2024/10/6 11:02:27 加入收藏我要投稿点赞

高中数学选修1-2

2.2.2 反证法

[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.

知识点一间接证明

不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为______证明.

常见的间接证明的方法是________. 知识点二反证法 1.反证法定义

假设原命题________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了____________，这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与__________矛盾，或与______矛盾，或与________________________矛盾等. 3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：结论词至少有一个 __________ (不存在) 只有一个没有或至少有两个都是至少有n个至多有 __个至多有个至少有 (n＋1)个对____x不成立存在某个x成立 p或q 綈p 反设词不一定是 ______綈q 思考 (1)有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？ (2)反证法主要适用于什么情形？

p____q 綈p或綈q 反设词结论词反设词结论词至少有两个对所有x成立存在______x 不成立 1

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题型一用反证法证明结论否定的问题

例1 如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分.

反思与感悟对于结论否定型命题，正面证明需要考虑的情况很多，过程烦琐且容易遗漏，故可以考虑采用反证法.一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明.

跟踪训练1 已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数.

题型二用反证法证明唯一性问题

例2 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.

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反思与感悟证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法比用同一法更方便. 跟踪训练2 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直. 已知：平面α和一点P.

求证：过点P与α垂直的直线只有一条.

题型三用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题

例3 用反证法证明：如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.(不考虑重根)

反思与感悟用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义. 1＋x1＋y跟踪训练3 若x，y都是正实数，且x＋y＞2，求证：＜2与＜2中至少有一个成

yx立.

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因反证法中的反设不当致误

例4 用反证法证明：若a＞b＞0，则a＞b. 错解假设a＞b不成立，则a＜b. 若a＜b，则a＜b，与已知a＞b矛盾. 故假设不成立，结论a＞b成立. 错因分析

a＞b的否定应为a≤b，即“大于”的否定是“小于或等于”.同理，“小

于”的否定是“大于或等于”，不能漏掉“等于”.因此在用反证法证题时，一定要正确地找出结论的否定，不能犯否定不全的错误. 正解假设a＞b不成立，则a≤b. 若a＜b，则a＜b，与已知a＞b矛盾；若a＝b，则a＝b，与已知a＞b矛盾. 故假设不成立. 所以a＞b成立.

易错警示在利用反证法证明问题时，往往要假设命题结论的反面成立，而问题结论的反面一定要全面，漏掉任何一种情况，证明都是不正确的.

1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( ) A.三角形中至少有一个直角或钝角 B.三角形中至少有两个直角或钝角 C.三角形中没有直角或钝角