2．2 用函数模型解决实际问题
导入新课 思路1.(事例导入)
一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？
解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.
也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解． 思路2.(直接导入)
请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图像性质，本节我们通过实例比较它们的应用．
推进新课
n 新知探究 提出问题
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数. ②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.
③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.
④分别用表格、图像表示上述函数. ⑤指出它们属于哪种函数模型. ⑥讨论它们的单调性.
⑦继续扩大x的取值范围，比较它们的增长差异. ⑧另外还有哪种函数模型？
活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．
①总价等于单价与数量的积． ②面积等于边长的平方．
③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、……. ④列表画出函数图像．
⑤引导学生回忆学过的函数模型．
⑥结合函数表格与图像讨论它们的单调性． ⑦让学生自己比较并体会．
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型． 讨论结果：①y＝x. ②y＝x. ③y＝(1＋5%)， ④如下表
x2
x y＝x y＝x2 y＝(1＋5%)x 1 1 1 1.05 2 2 4 1.10 3 3 9 1.16 4 4 16 1.22 5 5 25 1.28 6 6 36 1.34 它们的图像分别为图5，图6，图7.
2
x图5 图6 图7
⑤它们分别属于：y＝kx＋b(直线型)，y＝ax＋bx＋c(a≠0，抛物线型)，y＝ka＋b(指数型)．
⑥从表格和图像得出它们都为增函数．
⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y＝(1＋5%)的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫作对数型函数． 函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系．就可以通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决．
x 应用示例
思路1
例1 某公司一年需要一种计算机元件8 000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未1
使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为x件，每个元件的库存费是一年2元．请
2
核算一下，每年进货几次花费最小？
解：无论分几次进货，公司进货的总数是8 000个元件，元件费用是固定不变的，影响总费用变化的量只是库存费和购货手续费，若想减少库存费，就要增加进货次数，而进货次数的增加又使手续费的总量增加了，这就需要将二者对总费用的影响用数学关系表示清楚，进而求最小的花费．
设购进8 000个元件的总费用为F，一年总库存费为E，手续费为H，其他费用为C(C为常数)，则
E＝2×x，H＝500×
1
2
8 0008 000
，x＝(n≥1，n∈Z)，
xn18 000
所以F＝E＋H＋C＝2×x＋500×＋C
2x＝
8 000?4?2?16?＋500n＋C＝500?＋n?＋C＝500?－n?＋4 000＋C≥4 000＋C，
n?n?
?n?
当且仅当
4
n＝n，即n＝4时，总费用最少，故以每年进货4次为宜．
例2 电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据(见下表)． 序号 磁钢面积/cm 用胶量/g 0.164 0.396 0.404 0.664 0.812 0.972 1.688 2.86 4.076 7.332 21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11.0 19.4 26.2 46.6 56.6 67.2 125.2 189.0 247.1 443.4 现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系． 解：我们取磁钢面积x为横坐标、用胶量y为纵坐标，建立直角坐标系．根据上表数据在直角坐标系中描点，得出图8.
图8
从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y＝ax＋b表示用胶量与磁钢面积的关系．
取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标代入y＝ax＋b，
??0.812＝56.6a＋b，得方程组?
?2.86＝189.0a＋b.?
解得a＝0.015 47，b＝－0.063 50. 这条直线是y＝0.015 47x－0.063 50.
点评：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．
例3 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002，其中哪个模型能符合公司的要求？
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图像，通过观察函数的图像，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．
解：借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002的图像(图9)．
xx
图9
观察函数的图像，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型
xy＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；
对于模型y＝1.002，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点
xx0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型
也不符合要求；
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1 000]
ylog7x＋1时，是否有＝≤0.25成立．
xx令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1 000]．
利用计算器或计算机作出函数f(x)的图像(图10)，由函数图像可知它是递减的，因此
图10
f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，
即log7x＋1＜0.25x. 所以当x∈[10,1 000]时，
log7x＋1
＜0.25.
x
高中数学 4.2用函数模型解决实际问题(1)教学设计 北师
