课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数
层级一 学业水平达标
1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．非充分非必要条件
解析：选B 根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.
2
2．设函数f(x)＝x＋ln x，则( ) 1
A．x＝为f(x)的极大值点
21
B．x＝为f(x)的极小值点
2C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点
2211
1－x?＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，解析：选D 由f′(x)＝－2＋x＝x?f′(x)＜0，f(x)??x单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．
3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) C．(2，＋∞)
B．(3，＋∞) D．(－∞，3)
解析：选B 因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
解析：选C 由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0；排除B、D，当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
4
A.，0 27C．－
4
，0 27
B．0，
4 27
4
D．0，－
27
解析：选A f′(x)＝3x2－2px－q， 由f′(1)＝0，f(1)＝0得，
???3－2p－q＝0，?p＝2，?解得?∴f(x)＝x3－2x2＋x. ???1－p－q＝0，?q＝－1，
114由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值.当x＝1时f(x)
3327取极小值0.
6．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝______________.
a＋2b＋1＝0，??a
解析：∵f′(x)＝＋2bx＋1，由题意得?a
x＋4b＋1＝0.??22
∴a＝－. 32
答案：－ 3
1
7．函数f(x)＝ax2＋bx在x＝a处有极值，则b的值为________． 1
解析：f′(x)＝2ax＋b，∵函数f(x)在x＝处有极值，
a1?1∴f′?＝2a·＋b＝0，即b＝－2. ?a?a答案：－2
8.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)
3
①当x＝时，函数f(x)取得最小值；
2②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数值取得极小值； ④当x＝1时函数取得极大值．
解析：由图象可知，x＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y＞0；x∈(1,2)时，y＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确．
答案：①
9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值． 解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减↘ 2(1－ln 2＋a) 单调递增↗
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)； 且f(x)在x＝ln 2处取得极小值．
极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． 解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0. 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. ∴a＝132，b＝0，c＝－2. (2)由(1)知f(x)＝132x3－2x，
∴f′(x)＝32x2－32＝3
2
(x－1)(x＋1)．
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1 ∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． ∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1； 当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1. 层级二 应试能力达标 1．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( ) A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3 解析：选A ∵f′(x)＝3ax2 ＋b，由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴???3a＋b＝0， ?? a＋b＝－2，a＝1，b＝－3. 2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( ) ∴
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