课时跟踪检测(六) 函数的极值与导数
层级一 学业水平达标
1.已知函数y=f(x)在定义域内可导,则函数y=f(x)在某点处的导数值为0是函数y=f(x)在这点处取得极值的( )
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.非充分非必要条件
解析:选B 根据导数的性质可知,若函数y=f(x)在这点处取得极值,则f′(x)=0,即必要性成立;反之不一定成立,如函数f(x)=x3在R上是增函数,f′(x)=3x2,则f′(0)=0,但在x=0处函数不是极值,即充分性不成立.故函数y=f(x)在某点处的导数值为0是函数y=f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件,故选B.
2
2.设函数f(x)=x+ln x,则( ) 1
A.x=为f(x)的极大值点
21
B.x=为f(x)的极小值点
2C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点
2211
1-x?=0可得x=2.当0<x<2时,解析:选D 由f′(x)=-2+x=x?f′(x)<0,f(x)??x单调递减;当x>2时,f′(x)>0,f(x)单调递增.故x=2为f(x)的极小值点.
3.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )
A.(2,3) C.(2,+∞)
B.(3,+∞) D.(-∞,3)
解析:选B 因为函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,又f′(x)=6x2+2ax+36,所以f′(2)=0解得a=-15.令f′(x)>0,解得x>3或x<2,所以函数的一个递增区间是(3,+∞).
4.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
解析:选C 由题意可得f′(-2)=0,而且当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,此时xf′(x)>0;排除B、D,当x∈(-2,+∞)时,f′(x)>0,此时若x∈(-2,0),xf′(x)<0,若x∈(0,+∞),xf′(x)>0,所以函数y=xf′(x)的图象可能是C.
5.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为( )
4
A.,0 27C.-
4
,0 27
B.0,
4 27
4
D.0,-
27
解析:选A f′(x)=3x2-2px-q, 由f′(1)=0,f(1)=0得,
???3-2p-q=0,?p=2,?解得?∴f(x)=x3-2x2+x. ???1-p-q=0,?q=-1,
114由f′(x)=3x2-4x+1=0得x=或x=1,易得当x=时f(x)取极大值.当x=1时f(x)
3327取极小值0.
6.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数a=______________.
a+2b+1=0,??a
解析:∵f′(x)=+2bx+1,由题意得?a
x+4b+1=0.??22
∴a=-. 32
答案:- 3
1
7.函数f(x)=ax2+bx在x=a处有极值,则b的值为________. 1
解析:f′(x)=2ax+b,∵函数f(x)在x=处有极值,
a1?1∴f′?=2a·+b=0,即b=-2. ?a?a答案:-2
8.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0).如图,则下列说法中不正确的是________.(填序号)
3
①当x=时,函数f(x)取得最小值;
2②f(x)有两个极值点;
③当x=2时函数值取得极小值; ④当x=1时函数取得极大值.
解析:由图象可知,x=1,2是函数的两极值点,∴②正确;又x∈(-∞,1)∪(2,+∞)时,y>0;x∈(1,2)时,y<0,∴x=1是极大值点,x=2是极小值点,故③④正确.
答案:①
9.设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R,求f(x)的单调区间与极值. 解:由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.令f′(x)=0,得x=ln 2. 于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,ln 2) ln 2 (ln 2,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 单调递减↘ 2(1-ln 2+a) 单调递增↗
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞); 且f(x)在x=ln 2处取得极小值.
极小值为f(ln 2)=2(1-ln 2+a),无极大值.
10.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1. (1)试求常数a,b,c的值;
(2)试判断x=±1时函数取得极小值还是极大值,并说明理由. 解:(1)由已知,f′(x)=3ax2+2bx+c,
且f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0. 又f(1)=-1,∴a+b+c=-1. ∴a=132,b=0,c=-2. (2)由(1)知f(x)=132x3-2x,
∴f′(x)=32x2-32=3
2
(x-1)(x+1).
当x<-1或x>1时,f′(x)>0;当-1 ∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上为减函数. ∴当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1; 当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1. 层级二 应试能力达标 1.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为( ) A.1,-3 B.1,3 C.-1,3 D.-1,-3 解析:选A ∵f′(x)=3ax2 +b,由题意知f′(1)=0,f(1)=-2,∴???3a+b=0, ?? a+b=-2,a=1,b=-3. 2.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是( ) ∴
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