用分解式A?D?L?U,则上式为
Dx即
(k?1)??1???Dx(k)???b??aijxj?1i?1(k?1)j??aijx(jk)j?in?
(k?1)(k)x?Bx?f? (14) ?
其中
B??(D??L)?1?(1??)D??U?
f???(D??L)?1b (15)
(14)为超松驰迭法(公式)的矩阵形式B?称为其迭代矩陈
例：用逐次超松驰迭代法求解方程组
?10x1?x2?2x3?7.2???x1?10x2?2x3?8.3???x1?x2?5x3?4.2
?0??0??0??0?????0,0,0,?,迭代公式 x?x,x,x123解：取
TT1??k?1??k??k??k??k???x?x???7.2?10x?x?2x1123?110?1??k?1??k??k?1??k??k???x?x???8.3?10x?x?2x?2212310?1??k?1??k??k?1??k?1??k???x?x???4.2?x?x?5x3123?35?
取??1.055计算结果为表3
表3
k 0 1 2 3 4 5 …
16
?k?x 1 0 0 0 0.7596 0. 1.24815 1.08202 1.20059 1.29918 1.10088 1.9989 1.30021 1.09998 1.20005 1.3 1.1 1.2 1.3 … … … ?k?x2 x3?k? 对?取其他值，计算结果满足误差
x(k)?x*的迭代次数如下：
表4
??10?5
? 0.0.0.0.0.0.0.0.0.1 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 2 3 4 5 6 7 8 9 k 163 74322111 2 3 4 5 6 7 8 9 1123519 6 6 8 17 9 4 6 0 5 2 0 3 7 2 1 1 05 从此例看到,松驰因子选择得好,会使超松驰迭代法的收敛大大加速.使收敛最快的松驰因子称为最佳松驰因子.本例的最佳松驰因子为??1.055,一般地，最佳松驰因子?应满足
?
??B???min??B??
?最佳松驰因子理论是由Young(1950年)针对一类椭圆型微分方程数值解得到的代数方程组Ax?b(具有所谓性质A和相容次序)所建立的理论,他给出了最佳松驰因子公式
?pt?其中BJ是雅可比迭代矩阵.
21?1??2?BJ?
定理1 设aii?0,i?1,2,..n,且超松驰迭代法(12)收敛，则松驰因子
0???2 (16)
17
证明：设SOR方法收敛，根据迭代法收敛的充要条件可知，??B???1. 设B?的特征值为?1,?2,...?n，则 即
det?B????1?2...?n????B???n
tB?? de?而
1n????B???1?n?1
det?B?所以
??det??D??Ln???det??1???D??U?
??1???
1???1
该定理说明对于解一般线性方程组(1)?aii?0,i?1,2,...,n?，超松弛迭代法只
有取松弛因子?在?0,2?范围内才能收敛.反过来,对A是正定矩阵有下面结果. 定理2 设A是对称正定矩阵,且0???2,则超松弛迭代法(12)收敛. 证明：设?是B?的任一特征值,在上述假定下,若能证明??1,那么定理得证. 事实上,设x为?对应特征向量，即 B?x??x,亦即
??1???D??U?x???D??L?x 考虑数量积 则
x?0
???1???D??U?x,x?????D??L?x,x?
?Dx,x????Dx,x????Ux,x????Dx,x????Lx,x?
显然
?Dx,x???ai?1niixi???02
记
18
??Lx,x????i? 由于A?A,所以
TU?LT
________???Ux,x????x,Lx????Lx,x?????i???
0??Ax,x????D?L?U?x,x????2?
所以
??????2???i???????????i??
从而
???????????????????????2222222
当0???2时
??????????????????????2???yy??2??0
22即??1.
19
第四章线性方程组的迭代法范文
